Вправа 10.10 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 10.10. Побудуйте графік функції:

$y = 3x^2$ ;
$y = -2x^2$ ;
$y = 0{,}25x^2$ ;
$y = -\dfrac{1}{3}x^2$ .

Розв'язання

Усі функції мають вигляд $y = ax^2$ — парабола з вершиною в початку координат $(0;\,0)$ . Знак $a$ визначає напрямок гілок, $|a|$ — «вузькість» параболи.

1) $y = 3x^2$

$a = 3 > 0$ — гілки вгору. Парабола вужча, ніж $y = x^2$ .

y = 3x^2

Вершина: $(0;\,0)$

Гілки: вгору

$y_{\min} = 0$ при $x=0$

$E(y)$ : $[0;\,+\infty)$

Спадає: $(-\infty;\,0]$

Зростає: $[0;\,+\infty)$

2) $y = -2x^2$

$a = -2 < 0$ — гілки вниз. Парабола ширша, ніж $y = -3x^2$ .

y = -2x^2

Вершина: $(0;\,0)$

Гілки: вниз

$y_{\max} = 0$ при $x=0$

$E(y)$ : $(-\infty;\,0]$

Зростає: $(-\infty;\,0]$

Спадає: $[0;\,+\infty)$

3) $y = 0{,}25x^2$

$a = 0{,}25 = \dfrac{1}{4} > 0$ — гілки вгору. Парабола ширша, ніж $y = x^2$ .

y = 0{,}25x^2

Вершина: $(0;\,0)$

Гілки: вгору

$y_{\min} = 0$ при $x=0$

$E(y)$ : $[0;\,+\infty)$

Спадає: $(-\infty;\,0]$

Зростає: $[0;\,+\infty)$

4) $y = -\dfrac{1}{3}x^2$

$a = -\dfrac{1}{3} < 0$ — гілки вниз. Парабола найширша серед усіх чотирьох.

y = -\dfrac{1}{3}x^2

Вершина: $(0;\,0)$

Гілки: вниз

$y_{\max} = 0$ при $x=0$

$E(y)$ : $(-\infty;\,0]$

Зростає: $(-\infty;\,0]$

Спадає: $[0;\,+\infty)$

Функція $y = ax^2$

Парабола з вершиною в початку координат $(0;\,0)$ .

$a > 0$ — гілки вгору, $y_{\min} = 0$ ; $E(y) = [0;\,+\infty)$ .

$a < 0$ — гілки вниз, $y_{\max} = 0$ ; $E(y) = (-\infty;\,0]$ .

Вплив $|a|$ на форму параболи

Чим більше $|a|$ — тим вужча парабола (крутіші гілки).

Чим менше $|a|$ — тим ширша.

Наприклад: $y = 3x^2$ вужча, ніж $y = x^2$ ; $y = 0{,}25x^2$ ширша.

Таблиця значень для побудови

Для $y = ax^2$ беруть симетричні $x$ : наприклад $0$ , $\pm 1$ , $\pm 2$ . Достатньо знайти 5 точок і з'єднати плавною кривою. Вершина завжди в $(0;\,0)$ .

Як порівняти «вузькість» парабол. Усі чотири мають ту саму вершину $(0;\,0)$ . Щоб швидко зрозуміти порядок: підстав $x = 1$ . Отримаєш $y = a$ . Найбільше $|a|$ — найвище (або найнижче) значення при $x=1$ , тобто найвужча парабола. Порядок за вузькістю: $y=3x^2 > y=x^2 > y=\tfrac{1}{3}x^2 > y=0{,}25x^2 = y=\tfrac{1}{4}x^2$ .

Зауваж, що $0{,}25 = \tfrac{1}{4}$ — ці дроби рівні, тому $y=0{,}25x^2$ і $y=\tfrac{1}{4}x^2$ — той самий графік.

Часті помилки. 1) Намалювати параболу з вершиною не в нулі — для $y = ax^2$ вершина завжди $(0;\,0)$ . 2) Переплутати напрямок гілок і записати $y_{\min}$ для параболи з $a < 0$ . 3) Не скоротити $0{,}25 = \tfrac{1}{4}$ .