Вправа 10.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 10.15. Побудуйте графік функції $y = (x + 1)^2 - 4$. За графіком знайдіть:
- нулі функції;
- область значень функції;
- значення $x$, за яких функція набуває від'ємних значень;
- проміжок зростання функції.
Функція $y = (x + 1)^2 - 4$ задана у вершинній формі $y = (x - x_в)^2 + y_в$.
Вершина параболи: $(-1;\,-4)$. Коефіцієнт $a = 1 > 0$ — гілки вгору.
1) Нулі: $x = -3$, $x = 1$
2) $E(y)$: $[-4;\,+\infty)$
3) $y < 0$: $x \in (-3;\,1)$
4) Зростає: $[-1;\,+\infty)$
$y_{\min} = -4$ при $x = -1$
Знаходимо нулі аналітично:
$(x + 1)^2 - 4 = 0$;
$(x + 1)^2 = 4$;
$x + 1 = \pm 2$;
$x_1 = -3$, $\quad x_2 = 1$.
Вершинна форма параболи
$y = a(x - x_в)^2 + y_в$ — парабола з вершиною $(x_в;\,y_в)$.
$a > 0$ — гілки вгору, $y_в$ — мінімум; $E(y) = [y_в;\,+\infty)$.
$a < 0$ — гілки вниз, $y_в$ — максимум; $E(y) = (-\infty;\,y_в]$.
Зростання і спадання
$a > 0$: спадає на $(-\infty;\,x_в]$, зростає на $[x_в;\,+\infty)$.
$a < 0$: зростає на $(-\infty;\,x_в]$, спадає на $[x_в;\,+\infty)$.
Нулі функції
$a(x - x_в)^2 + y_в = 0$ ⇒ $(x - x_в)^2 = -\dfrac{y_в}{a}$.
Рівняння $t^2 = k$ має розв'язки $t = \pm\sqrt{k}$ при $k > 0$, один нуль при $k = 0$, розв'язків немає при $k < 0$.
Проміжки знакосталості
$a > 0$: $y > 0$ зовні від нулів; $y < 0$ між нулями.
$a < 0$: навпаки.
Чому вершинна форма зручніша за стандартну. З $y = (x+1)^2 - 4$ одразу видно: вершина $(-1;\,-4)$, зсув вліво на 1, вниз на 4. Зі стандартної $y = x^2 + 2x - 3$ це треба було б ще обраховувати через $x_в = -b/(2a)$.
Як знайти нулі — без дискримінанта. $(x+1)^2 = 4$. Квадрат рівний 4 — значить корінь $\pm 2$. Тоді $x + 1 = 2$ або $x + 1 = -2$. Набагато швидше, ніж розписувати через $D$.
Від'ємні значення. Парабола гілками вгору — «западина» між нулями нижче осі $x$. Між $x = -3$ і $x = 1$ функція від'ємна. На краях ($x = -3$ і $x = 1$) вона рівно нуль — тому дужки круглі: $(-3;\,1)$.
Зростання — від вершини вправо. Вершина при $x = -1$. Лівіше — парабола спадає, правіше — зростає. Зростає на $[-1;\,+\infty)$ — включаємо $-1$, бо в самій вершині функція ще не «спадає» і не «зростає» (це граничний момент).
Часті помилки. 1) Написати вершину $(1;\,-4)$ — переплутати знак: у вершинній формі $y = (x+1)^2 - 4 = (x - (-1))^2 - 4$, тому $x_в = -1$, а не $+1$. 2) Записати $E(y) = (-\infty;\,-4]$ — це для гілок вниз; тут $a = 1 > 0$, тому $E(y) = [-4;\,+\infty)$. 3) Поставити квадратні дужки для від'ємних значень — нулі не входять, бо в них $y = 0$, а нам потрібно $y < 0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.