Вправа 10.17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 10.17. Розв'яжіть графічно рівняння:
- $1 + \dfrac{5}{x} = \sqrt{x - 1}$;
- $|x - 1| = (x + 1)^2$.
1) $1 + \dfrac{5}{x} = \sqrt{x - 1}$
Будуємо графіки $y = 1 + \dfrac{5}{x}$ та $y = \sqrt{x - 1}$ в одній системі координат.
Графіки перетинаються в точці $(5;\,2)$.
2) $|x - 1| = (x + 1)^2$
Будуємо графіки $y = |x - 1|$ та $y = (x + 1)^2$ в одній системі координат.
Графіки перетинаються в точках $(-3;\,4)$ та $(0;\,1)$.
Графічний метод розв'язання рівнянь
Рівняння $f(x) = g(x)$ розв'язуємо графічно: будуємо $y = f(x)$ і $y = g(x)$, знаходимо точки перетину. Абсциси точок перетину — корені рівняння.
Область визначення
У пункті 1): $\dfrac{5}{x}$ існує при $x \neq 0$; $\sqrt{x-1}$ існує при $x \geqslant 1$. Загальна ОВЗ: $x > 1$ (права гілка гіперболи починається лише з $x = 1$).
У пункті 2): $|x-1|$ і $(x+1)^2$ визначені для всіх $x \in \mathbb{R}$.
Перевірка кореня
Підставляємо знайдене $x$ у обидві частини вихідного рівняння і перевіряємо рівність.
Пункт 1 — чому лише один корінь. $\sqrt{x-1}$ зростає повільно і «здоганяє» спадну гіперболу $1 + \frac{5}{x}$ рівно в одній точці. Лівіше $x = 5$ гіпербола вища, правіше — корінь вищий. Перетин один.
Перевірка пункту 1. При $x = 5$: ліва частина $1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2$; права $\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$ ✓.
Пункт 2 — як знайти корені аналітично. Розбиваємо на два випадки.
При $x \geqslant 1$: $x - 1 = (x+1)^2$ ⇒ $x^2 + x + 2 = 0$, $D = 1 - 8 < 0$ — коренів немає.
При $x < 1$: $1 - x = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ⇒ $x^2 + 3x = 0$ ⇒ $x(x+3) = 0$ ⇒ $x = 0$ або $x = -3$. Обидва задовольняють умову $x < 1$ ✓.
Перевірка пункту 2. $x = 0$: $|0-1| = 1$, $(0+1)^2 = 1$ ✓. $x = -3$: $|-3-1| = 4$, $(-3+1)^2 = 4$ ✓.
Часті помилки. 1) В пункті 1 не врахувати ОВЗ і «побачити» перетин при від'ємних $x$ (ліва гілка гіперболи — але там $\sqrt{x-1}$ не визначена). 2) В пункті 2 пропустити один із двох коренів — графік чітко показує два перетини.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.