Вправа 10.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 10.21.
- Побудуйте графік функції $y = |x^2 - 4|$.
- Використовуючи графік, знайдіть усі значення $a$, за яких рівняння $|x^2 - 4| = a$ має рівно три корені.
1) Графік $y = |x^2 - 4|$
$x^2 - 4 = 0$ при $x = \pm 2$. На проміжку $(-2;\,2)$ маємо $x^2 - 4 < 0$, тому там $|x^2-4| = 4 - x^2$ (парабола вниз). Поза цим проміжком $|x^2-4| = x^2 - 4$ (парабола вгору).
2) Кількість коренів рівняння $|x^2 - 4| = a$
Графічно: кількість коренів — це кількість перетинів прямої $y = a$ з графіком $y = |x^2-4|$.
При $a = 0$: пряма $y=0$ торкається графіка в точках $x = \pm 2$ — 2 корені.
При $0 < a < 4$: пряма перетинає графік у 4 точках.
При $a = 4$: пряма $y=4$ торкається вершини «горба» при $x=0$ і перетинає дві зовнішні гілки при $x = \pm 2\sqrt{2}$ — рівно 3 корені.
При $a > 4$: пряма перетинає лише дві зовнішні гілки — 2 корені.
Графік $y = |f(x)|$
Там, де $f(x) \geqslant 0$ — графік $y = |f(x)|$ збігається з $y = f(x)$.
Там, де $f(x) < 0$ — частина графіка, що була нижче осі, відображається вгору (симетрія відносно осі $x$).
Кількість коренів через графік
Кількість розв'язків рівняння $g(x) = a$ — це кількість точок перетину графіка $y = g(x)$ з горизонтальною прямою $y = a$.
Як будується $y = |x^2-4|$. Беремо параболу $y = x^2 - 4$. Частина між $x=-2$ і $x=2$ лежить нижче осі — «відгинаємо» її вгору. Отримуємо характерний графік з двома нулями при $x=\pm 2$ і «горбом» при $x=0$ висотою $y=4$.
Чому рівно три корені при $a=4$. Пряма $y=4$ дотикається вершини горба $(0;\,4)$ — це один корінь ($x=0$). І перетинає дві зовнішні гілки: $x^2-4=4$ ⇒ $x^2=8$ ⇒ $x=\pm 2\sqrt{2}$ — ще два корені. Разом три.
Перевірка $x=0$: $|0-4|=4$ ✓. $x=2\sqrt{2}$: $|(2\sqrt{2})^2-4|=|8-4|=4$ ✓.
Часті помилки. 1) Не «відігнути» середню частину вгору і намалювати звичайну параболу. 2) Написати $a=0$ — там лише 2 корені. 3) Не врахувати симетрію і написати $x=2\sqrt{2}$ як єдиний додатковий корінь замість $\pm 2\sqrt{2}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.