Вправа 10.22 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 10.22. Розкладіть на множники квадратний тричлен:
- $x^2 + 3x - 4$;
- $2x^2 - x - 10$;
- $-x^2 - 2x + 8$;
- $-3x^2 + x + 2$.
Використовуємо формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, де $x_1$, $x_2$ — корені рівняння $ax^2 + bx + c = 0$.
1) $x^2 + 3x - 4$
$D = 9 + 16 = 25$; $\sqrt{D} = 5$.
$x_1 = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1$; $x_2 = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4$.
$x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.
2) $2x^2 - x - 10$
$D = 1 + 80 = 81$; $\sqrt{D} = 9$.
$x_1 = \dfrac{1 + 9}{4} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}$; $x_2 = \dfrac{1 - 9}{4} = -2$.
$2x^2 - x - 10 = 2\!\left(x - \dfrac{5}{2}\right)(x + 2) = (2x - 5)(x + 2)$.
3) $-x^2 - 2x + 8$
$D = 4 + 32 = 36$; $\sqrt{D} = 6$.
$x_1 = \dfrac{2 + 6}{-2} = -4$; $x_2 = \dfrac{2 - 6}{-2} = 2$.
$-x^2 - 2x + 8 = -(x + 4)(x - 2)$.
4) $-3x^2 + x + 2$
$D = 1 + 24 = 25$; $\sqrt{D} = 5$.
$x_1 = \dfrac{-1 + 5}{-6} = -\dfrac{2}{3}$; $x_2 = \dfrac{-1 - 5}{-6} = 1$.
$-3x^2 + x + 2 = -3\!\left(x + \dfrac{2}{3}\right)(x - 1) = -(3x + 2)(x - 1)$.
Розкладання квадратного тричлена на множники
Якщо рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ має корені $x_1$, $x_2$, то:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Якщо коренів немає ($D < 0$) — тричлен розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами неможливо.
Дискримінант
$D = b^2 - 4ac$; $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Усунення дробового кореня
Якщо $x_1 = \dfrac{p}{q}$ (дріб), то відповідний множник $\left(x - \dfrac{p}{q}\right)$ замінюємо на $\dfrac{1}{q}(qx - p)$, а коефіцієнт $\dfrac{1}{q}$ поглинається старшим коефіцієнтом $a$:
$a \cdot \dfrac{1}{q}(qx - p) = \dfrac{a}{q}(qx-p)$.
Наприклад, $2\!\left(x - \dfrac{5}{2}\right) = (2x - 5)$.
Навіщо взагалі розкладати тричлен. Розкладений вигляд $a(x-x_1)(x-x_2)$ одразу показує нулі функції, спрощує скорочення дробів і розв'язання нерівностей. Це один із найважливіших прийомів алгебри 9 класу.
Як перевірити себе за 5 секунд. Розкрий дужки назад: $(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$ ✓. Це надійніше, ніж шукати помилку в обчисленнях дискримінанта.
Пункт 2 — дробовий корінь. $x_1 = \frac{5}{2}$ — дріб, і множник $2(x - \frac{5}{2})$ виглядає незручно. Але $2 \cdot (x - \frac{5}{2}) = 2x - 5$ — цілий двочлен. Це стандартний прийом: «поглинути» знаменник у коефіцієнт.
Пункти 3 і 4 — від'ємний старший коефіцієнт. При $a < 0$ формула $a(x-x_1)(x-x_2)$ дає від'ємний множник перед дужками. У пункті 3 це $-(x+4)(x-2)$, у пункті 4 — $-(3x+2)(x-1)$. Мінус виносимо окремо — так виглядає акуратніше і відповідає стандартній формі відповіді.
Пункт 4 — формула дискримінанта з від'ємним $a$. Будь уважний: $a = -3$, $b = 1$, $c = 2$. Тоді $2a = -6$, і ділення на $-6$ змінює знаки: $x_1 = \frac{-1+5}{-6} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$. Типова помилка — забути, що ділимо на від'ємне.
Часті помилки. 1) Написати $a(x+x_1)(x+x_2)$ замість $a(x-x_1)(x-x_2)$ — переплутати знаки в дужках. 2) У пункті 2 залишити відповідь як $2(x - \frac{5}{2})(x+2)$ — некрасиво, краще привести до цілих коефіцієнтів. 3) У пункті 3 забути мінус перед дужками.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.