Вправа 10.30 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 10.30. Відомо, що $x - \dfrac{1}{x} = 1$. Знайдіть значення виразу:
- $x^3 - \dfrac{1}{x^3}$;
- $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$.
1) $x^3 - \dfrac{1}{x^3}$
$x^3 - \dfrac{1}{x^3} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 + 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 1^3 + 3 \cdot 1 = 4$.
2) $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.
$x^4 + \dfrac{1}{x^4} = \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$.
Корисні тотожності
$\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2}$ ⇒ $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2 + 2$.
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, або через $(a-b)$: $a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)$.
Стратегія — зводимо все до $\left(x-\frac{1}{x}\right)$. Знаємо лише одну величину, тому кожен вираз треба виразити через неї. Для степенів 2 і 4 — через квадрат, для 3 — через куб.
Чому в пункті 2 «+2», а не «−2». $(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$. Звідси $x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2$. Знак «плюс», бо переносимо $-2$ в інший бік.
Ланцюжок зростання степенів: знаємо $x-\frac{1}{x}=1$ ⇒ знаходимо $x^2+\frac{1}{x^2}=3$ ⇒ знаходимо $x^4+\frac{1}{x^4}=7$. Кожен крок — піднесення до квадрату з коригуванням на «$-2$».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.