Вправа 10.7 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 10.7. Побудуйте графік функції:

$y = (x-1)^2 + 3$;
$y = 4 - x^2$;
$y = (x+2)^2 - 5$;
$y = (x+3)^2 + 1$;
$y = -3 + (x-2)^2$;
$y = -x^2 - 1$.

Розв'язання

1) $y = (x-1)^2 + 3$

Стандартна форма: $y = $(x-1)^2+3$$. Вершина $(1;\,3)$, гілки вгору.

Мал. до п. 1)

Вершина: $(1;\,3)$

Гілки: вгору

$E(f)$: $[3;\,+\infty)$

Нулі: нулів немає ($D=b^2-4ac=-12<0$)

Монотонність: Спадає на $(-\infty;\,1]$, зростає на $[1;\,+\infty)$

2) $y = 4 - x^2$

Стандартна форма: $y = $-(x-0)^2+4 = 4-x^2$$. Вершина $(0;\,4)$, гілки вниз.

Мал. до п. 2)

Вершина: $(0;\,4)$

Гілки: вниз

$E(f)$: $(-\infty;\,4]$

Нулі: $x=-2$, $x=2$

Монотонність: Зростає на $(-\infty;\,0]$, спадає на $[0;\,+\infty)$

3) $y = (x+2)^2 - 5$

Стандартна форма: $y = $(x+2)^2-5$$. Вершина $(-2;\,-5)$, гілки вгору.

Мал. до п. 3)

Вершина: $(-2;\,-5)$

Гілки: вгору

$E(f)$: $[-5;\,+\infty)$

Нулі: $x=-2-\sqrt{5}\approx -4{,}24$, $x=-2+\sqrt{5}\approx 0{,}24$

Монотонність: Спадає на $(-\infty;\,-2]$, зростає на $[-2;\,+\infty)$

4) $y = (x+3)^2 + 1$

Стандартна форма: $y = $(x+3)^2+1$$. Вершина $(-3;\,1)$, гілки вгору.

Мал. до п. 4)

Вершина: $(-3;\,1)$

Гілки: вгору

$E(f)$: $[1;\,+\infty)$

Нулі: нулів немає ($D=-4<0$)

Монотонність: Спадає на $(-\infty;\,-3]$, зростає на $[-3;\,+\infty)$

5) $y = -3 + (x-2)^2$

Стандартна форма: $y = $(x-2)^2-3$$. Вершина $(2;\,-3)$, гілки вгору.

Мал. до п. 5)

Вершина: $(2;\,-3)$

Гілки: вгору

$E(f)$: $[-3;\,+\infty)$

Нулі: $x=2-\sqrt{3}\approx 0{,}27$, $x=2+\sqrt{3}\approx 3{,}73$

Монотонність: Спадає на $(-\infty;\,2]$, зростає на $[2;\,+\infty)$

6) $y = -x^2 - 1$

Стандартна форма: $y = $-(x-0)^2-1 = -x^2-1$$. Вершина $(0;\,-1)$, гілки вниз.

Мал. до п. 6)

Вершина: $(0;\,-1)$

Гілки: вниз

$E(f)$: $(-\infty;\,-1]$

Нулі: нулів немає

Монотонність: Зростає на $(-\infty;\,0]$, спадає на $[0;\,+\infty)$

Квадратична функція у формі вершини

$y = a(x-h)^2 + k$, де $(h;\,k)$ — вершина параболи.

$a > 0$ — гілки вгору, $y_{\min} = k$, $E(f) = [k;\,+\infty)$.

$a < 0$ — гілки вниз, $y_{\max} = k$, $E(f) = (-\infty;\,k]$.

Алгоритм побудови

1) Визначити вершину $(h;\,k)$ і напрямок гілок (знак $a$).

2) Знайти нулі (якщо є): $a(x-h)^2+k=0 \Rightarrow (x-h)^2 = -k/a$.

3) Знайти перетин з $Oy$: підставити $x=0$.

4) Відкласти вершину, нулі, кілька симетричних точок і з'єднати плавною кривою.

Форма вершини — найзручніша для побудови. Бачиш $y=(x-h)^2+k$ — одразу знаєш де вершина і куди гілки. Не треба обчислювати $x_в = -b/(2a)$.

Пункти 2) і 6) — гілки вниз. $y=4-x^2 = -(x-0)^2+4$ і $y=-x^2-1=-(x-0)^2-1$. Мінус перед $x^2$ — завжди гілки вниз, вершина — максимум.

Нулі з форми вершини: $(x-h)^2 = -k/a$. Якщо $-k/a > 0$ — два нулі; $= 0$ — один (дотик); $< 0$ — нулів немає. Наприклад, п.1): $-3/1 = -3 < 0$ — нулів немає.

Зв'язок з 10.1: всі ці параболи — зсуви і відображення базової $y=x^2$. Пункт 1) — зсув вправо на 1 і вгору на 3; пункт 3) — зсув вліво на 2 і вниз на 5.