Вправа 11.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 11.21. Побудуйте графік квадратичної функції та за графіком знайдіть область значень функції, нулі функції, проміжки знакосталості та проміжки зростання і спадання функції:
- $y = -4x^2 + 8x$;
- $y = 2x^2 - 8x + 6$;
- $y = (x-1)(x-5)$;
- $y = 2(x+1)(x-3)$.
В усіх пунктах графіком є парабола. Координати вершини: $x_в = -\dfrac{b}{2a}$, $y_в = f(x_в)$. Напрямок гілок — за знаком $a$. Властивості зчитуємо з готового графіка.
1) $y = -4x^2 + 8x$
$a = -4 < 0$ — гілки вниз. Винесемо $-4x$: $y = -4x(x-2)$, нулі $x = 0$, $x = 2$.
Вершина: $x_в = -\dfrac{8}{-8} = 1$, $y_в = -4 + 8 = 4$.
$E(y)$: $(-\infty;\,4]$
Нулі: $x = 0$, $x = 2$
$y > 0$: $x \in (0;\,2)$
$y < 0$: $x \in (-\infty;\,0) \cup (2;\,+\infty)$
Зростає: $(-\infty;\,1]$
Спадає: $[1;\,+\infty)$
$y_{\max} = 4$ при $x = 1$
2) $y = 2x^2 - 8x + 6$
$a = 2 > 0$ — гілки вгору. Розкладемо: $y = 2(x^2 - 4x + 3) = 2(x-1)(x-3)$, нулі $x = 1$, $x = 3$. Вершина: $x_в = \dfrac{8}{4} = 2$, $y_в = 8 - 16 + 6 = -2$.
$E(y)$: $[-2;\,+\infty)$
Нулі: $x = 1$, $x = 3$
$y > 0$: $x \in (-\infty;\,1) \cup (3;\,+\infty)$
$y < 0$: $x \in (1;\,3)$
Спадає: $(-\infty;\,2]$
Зростає: $[2;\,+\infty)$
$y_{\min} = -2$ при $x = 2$
3) $y = (x-1)(x-5)$
Перепишемо: $y = x^2 - 6x + 5$, $a = 1 > 0$ — гілки вгору. Нулі видно з множників: $x = 1$, $x = 5$. Вершина: $x_в = 3$ (середина між нулями), $y_в = (3-1)(3-5) = -4$.
$E(y)$: $[-4;\,+\infty)$
Нулі: $x = 1$, $x = 5$
$y > 0$: $x \in (-\infty;\,1) \cup (5;\,+\infty)$
$y < 0$: $x \in (1;\,5)$
Спадає: $(-\infty;\,3]$
Зростає: $[3;\,+\infty)$
$y_{\min} = -4$ при $x = 3$
4) $y = 2(x+1)(x-3)$
$a = 2 > 0$ — гілки вгору. Нулі з множників: $x = -1$, $x = 3$. Вершина: $x_в = 1$ (середина), $y_в = 2 \cdot 2 \cdot (-2) = -8$.
$E(y)$: $[-8;\,+\infty)$
Нулі: $x = -1$, $x = 3$
$y > 0$: $x \in (-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$
$y < 0$: $x \in (-1;\,3)$
Спадає: $(-\infty;\,1]$
Зростає: $[1;\,+\infty)$
$y_{\min} = -8$ при $x = 1$
Координати вершини параболи $y = ax^2 + bx + c$
$x_в = -\dfrac{b}{2a}$, $y_в = f(x_в)$.
Якщо нулі $x_1$, $x_2$ відомі, то $x_в = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ (середина між нулями — там вісь симетрії).
Напрямок гілок та екстремум
$a > 0$ — гілки вгору, $y_в$ — найменше значення; $E(y) = [y_в;\,+\infty)$.
$a < 0$ — гілки вниз, $y_в$ — найбільше значення; $E(y) = (-\infty;\,y_в]$.
Нулі функції
Розв'язки рівняння $ax^2 + bx + c = 0$. Якщо функція задана у вигляді добутку $a(x-x_1)(x-x_2)$, то нулі — це $x_1$ і $x_2$ безпосередньо.
Проміжки знакосталості
$a > 0$: $y > 0$ зовні нулів, $y < 0$ між нулями.
$a < 0$: навпаки — $y > 0$ між нулями, $y < 0$ зовні.
Зростання і спадання
$a > 0$: спадає на $(-\infty;\,x_в]$, зростає на $[x_в;\,+\infty)$.
$a < 0$: зростає на $(-\infty;\,x_в]$, спадає на $[x_в;\,+\infty)$.
Алгоритм побудови
1) Знайти координати вершини. 2) Знайти нулі (якщо є). 3) Скласти таблицю значень для кількох $x$, симетричних відносно $x_в$. 4) З'єднати точки плавною лінією.
Чому в (3) і (4) функція задана як добуток? Це підказка: нулі видно одразу, без розв'язування рівняння. Якщо $y = a(x - x_1)(x - x_2)$, то $y = 0$ при $x = x_1$ або $x = x_2$. Перетворювати на стандартний вигляд $ax^2 + bx + c$ не обов'язково.
Швидкий спосіб знайти вершину, якщо нулі цілі. Вершина — на осі симетрії, а ось симетрії проходить посередині між нулями. У (3): $x_в = (1 + 5)/2 = 3$. У (4): $x_в = (-1 + 3)/2 = 1$. Підставляємо $x_в$ у функцію — отримуємо $y_в$.
Як швидко перевірити графік. Кілька опор: 1) парабола симетрична відносно $x = x_в$; 2) у точці $x = 0$ значення $y = c$ (вільний член) — точка перетину з віссю $y$; 3) ширина параболи залежить від $|a|$: чим більше, тим парабола «вужча».
Знакосталість на пальцях. Намалюй параболу схематично (правильним напрямком), познач нулі. Те, що над віссю $x$ — там $y > 0$, те що під — $y < 0$. Без формул і правил.
Часті помилки. 1) Плутати квадратні дужки і круглі в проміжках зростання/спадання — на самій вершині функція не зростає і не спадає, тому $x_в$ входить в обидва проміжки (квадратна дужка). 2) Писати область значень як $(-\infty;\,+\infty)$ — це область визначення, а не значень. 3) Забути про знак $a$ і визначити «спадає» замість «зростає».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.