Вправа 11.29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 11.29. Доведіть, що всі точки параболи:
- $y = x^2 - 2x + 3$ лежать вище від осі $x$;
- $y = -x^2 - 4x - 5$ лежать нижче від осі $x$.
1) $y = x^2 - 2x + 3$
Виділимо квадрат двочлена:
$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.
$(x-1)^2 \geqslant 0$ для всіх $x$, тому $y \geqslant 2 > 0$.
Отже, всі точки параболи лежать вище від осі $x$. $\blacksquare$
2) $y = -x^2 - 4x - 5$
$y = -(x^2 + 4x + 4) - 1 = -(x+2)^2 - 1$.
$(x+2)^2 \geqslant 0$, тому $-(x+2)^2 \leqslant 0$, отже $y \leqslant -1 < 0$.
Отже, всі точки параболи лежать нижче від осі $x$. $\blacksquare$
Доведення знаку функції через вершинну форму
Якщо $y = a(x - x_в)^2 + y_в$ і $a > 0$, $y_в > 0$, то $y \geqslant y_в > 0$ для всіх $x$.
Якщо $a < 0$, $y_в < 0$, то $y \leqslant y_в < 0$ для всіх $x$.
Еквівалентна умова: $D = b^2 - 4ac < 0$ (парабола не перетинає вісь $x$).
Два рівноцінних способи доведення. Перший — вершинна форма (використано вище): виділяємо повний квадрат і оцінюємо мінімум/максимум. Другий — через дискримінант: якщо $D < 0$ і $a > 0$, парабола цілком над віссю; якщо $D < 0$ і $a < 0$ — під віссю.
Перевірка для (1): $D = 4 - 12 = -8 < 0$, $a = 1 > 0$ — підтверджує. Для (2): $D = 16 - 20 = -4 < 0$, $a = -1 < 0$ — підтверджує.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.