Вправа 11.29 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 11.29. Доведіть, що всі точки параболи:

$y = x^2 - 2x + 3$ лежать вище від осі $x$ ;
$y = -x^2 - 4x - 5$ лежать нижче від осі $x$ .

Розв'язання

1) $y = x^2 - 2x + 3$

Виділимо квадрат двочлена:

$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$ .

$(x-1)^2 \geqslant 0$ для всіх $x$ , тому $y \geqslant 2 > 0$ .

Отже, всі точки параболи лежать вище від осі $x$ . $\blacksquare$

2) $y = -x^2 - 4x - 5$

$y = -(x^2 + 4x + 4) - 1 = -(x+2)^2 - 1$ .

$(x+2)^2 \geqslant 0$ , тому $-(x+2)^2 \leqslant 0$ , отже $y \leqslant -1 < 0$ .

Отже, всі точки параболи лежать нижче від осі $x$ . $\blacksquare$

Доведення знаку функції через вершинну форму

Якщо $y = a(x - x_в)^2 + y_в$ і $a > 0$ , $y_в > 0$ , то $y \geqslant y_в > 0$ для всіх $x$ .

Якщо $a < 0$ , $y_в < 0$ , то $y \leqslant y_в < 0$ для всіх $x$ .

Еквівалентна умова: $D = b^2 - 4ac < 0$ (парабола не перетинає вісь $x$ ).

Два рівноцінних способи доведення. Перший — вершинна форма (використано вище): виділяємо повний квадрат і оцінюємо мінімум/максимум. Другий — через дискримінант: якщо $D < 0$ і $a > 0$ , парабола цілком над віссю; якщо $D < 0$ і $a < 0$ — під віссю.

Перевірка для (1): $D = 4 - 12 = -8 < 0$ , $a = 1 > 0$ — підтверджує. Для (2): $D = 16 - 20 = -4 < 0$ , $a = -1 < 0$ — підтверджує.