Вправа 11.42 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 11.42. За яких значень $c$ функція $y = x^2 + 8x + c$ для всіх значень $x$ набуває лише додатних значень?
$a = 1 > 0$ — гілки вгору. Функція додатна для всіх $x$ тоді й лише тоді, коли парабола не перетинає і не торкається осі $x$, тобто $D < 0$.
$D = 64 - 4c < 0$;
$4c > 64$;
$c > 16$.
Умова знакосталості квадратичної функції
$y = ax^2+bx+c > 0$ для всіх $x$ ⟺ $a > 0$ і $D < 0$.
$y = ax^2+bx+c < 0$ для всіх $x$ ⟺ $a < 0$ і $D < 0$.
Чому $D < 0$. На графіку видно: при $c = 16$ парабола торкається осі $x$ (один нуль, $D=0$) — там є точка з $y=0$, умова порушена. При $c > 16$ парабола повністю над віссю. При $c < 16$ — перетинає вісь, є від'ємні значення.
Граничний випадок $c = 16$. $D=0$, $y_{\min}=0$ — функція невід'ємна, але не строго додатна (є точка $y=0$). Тому умова $y > 0$ вимагає саме $D < 0$, тобто $c > 16$ строго.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.