Вправа 11.48 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 11.48. Знайдіть область визначення функції:
- $y = \dfrac{3 + x}{3x^2 + 2x - 5}$;
- $y = \sqrt{x - 5}$.
1) $y = \dfrac{3 + x}{3x^2 + 2x - 5}$
Функція визначена, якщо знаменник не дорівнює нулю:
$3x^2 + 2x - 5 \neq 0$.
Розв'яжемо рівняння $3x^2 + 2x - 5 = 0$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$;
$\sqrt{D} = 8$.
$x_1 = \dfrac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \dfrac{-10}{6} = -\dfrac{5}{3}$;
$x_2 = \dfrac{-2 + 8}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$.
Функція не визначена в точках $x = -\dfrac{5}{3}$ і $x = 1$.
2) $y = \sqrt{x - 5}$
Підкореневий вираз має бути невід'ємним:
$x - 5 \geqslant 0$;
$x \geqslant 5$.
Область визначення дробової функції
Для функції $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ область визначення — це всі $x$, для яких $Q(x) \neq 0$.
Область визначення кореня
Для функції $y = \sqrt{f(x)}$ область визначення — це всі $x$, для яких $f(x) \geqslant 0$.
Квадратне рівняння
$ax^2 + bx + c = 0$, де $D = b^2 - 4ac$, $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Чому для дробу перевіряємо знаменник?Ділення на нуль не визначене в математиці. Тому потрібно виключити всі точки, де знаменник дорівнює нулю.
Як знайти ці точки? Прирівняй знаменник до нуля і розв'яжи рівняння. У підпункті 1) вийшло квадратне рівняння $3x^2 + 2x - 5 = 0$ з двома коренями: $x = -\frac{5}{3}$ і $x = 1$. Ось ці дві точки виключаємо з області визначення.
Чому для кореня перевіряємо підкореневий вираз? Квадратний корінь з від'ємного числа не існує в дійсних числах. Тому підкоренева частина має бути $\geqslant 0$.
Графік показує розриви. На графіку першої функції видно, що в точках $x = -\frac{5}{3}$ і $x = 1$ функція «розривається» — там вертикальні асимптоти. Другий графік починається тільки від точки $x = 5$, бо лівіше корінь не визначений.
Типова помилка: забути перевірити знаменник або написати $x \neq -\frac{5}{3}, 1$ замість об'єднання інтервалів. Правильна відповідь — через об'єднання $\cup$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.