Вправа 11.50 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 11.50. Розв'яжіть графічно рівняння $\sqrt{x + 3} = \dfrac{4}{x} - 2$. За допомогою програми для побудови графіків перевірте правильність розв'язування.
Будуємо графіки $y = \sqrt{x+3}$ та $y = \dfrac{4}{x} - 2$ в одній системі координат.
ОВЗ: $x \geqslant -3$ і $x \neq 0$. Права частина $\dfrac{4}{x}-2 \geqslant 0$ при $0 < x \leqslant 2$, тому шукаємо перетин при $x > 0$.
Графіки перетинаються в точці $(1;\,2)$.
Перевірка: ліва частина $\sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$; права $\dfrac{4}{1} - 2 = 2$ ✓.
Аналітичне підтвердження. Замінимо $t = \sqrt{x+3} \geqslant 0$, тоді $x = t^2-3$:
$t = \dfrac{4}{t^2-3} - 2$;
$t(t^2-3) = 4 - 2(t^2-3)$;
$t^3 + 2t^2 - 3t - 10 = 0$.
При $t = 2$: $8 + 8 - 6 - 10 = 0$ ✓. Отже $t = 2$, $x = 4 - 3 = 1$.
Графічний метод
$f(x) = g(x)$ — будуємо обидва графіки, абсциси точок перетину є коренями.
Перед пошуком перетину звужуємо ОВЗ: $\sqrt{x+3}$ існує при $x \geqslant -3$; $\frac{4}{x}-2 \geqslant 0$ при $0 < x \leqslant 2$.
Чому лише $x > 0$. $\sqrt{x+3} \geqslant 0$ завжди. Щоб $\frac{4}{x}-2 \geqslant 0$, потрібно $\frac{4}{x} \geqslant 2$, тобто $x \leqslant 2$ (при $x > 0$). При від'ємних $x$ гіпербола $\frac{4}{x}$ від'ємна, тому рівність неможлива.
Заміна $t = \sqrt{x+3}$ зводить рівняння до кубічного, але один дійсний корінь $t=2$ знаходиться підбором. Два інші комплексні — відкидаємо.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.