Вправа 11.55 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 11.55. На яке натуральне число слід поділити число 180, щоб остача від ділення становила 25 % від частки?

Розв'язання

Нехай $n$ — шуканий дільник, $q$ — частка, $r$ — остача.

За умовою ділення: $180 = q \cdot n + r$, де $0 \leqslant r < n$.

За умовою задачі: $r = 0{,}25q = \dfrac{q}{4}$.

Підставляємо:

$180 = qn + \dfrac{q}{4} = q\left(n + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{q(4n+1)}{4}$;

$q(4n+1) = 720$.

Шукаємо натуральні $n$ і $q$ такі, що $q(4n+1)=720$ і $r = \dfrac{q}{4}$ є цілим числом і $r < n$.

$720 = 16 \cdot 45 = 16 \cdot (4 \cdot 11 + 1)$, тому $q = 16$, $n = 11$.

Перевірка: $r = \dfrac{16}{4} = 4$; $180 = 16 \cdot 11 + 4 = 176 + 4$ ✓; $r = 4 < 11 = n$ ✓; $4 = 25\% \cdot 16$ ✓.

Відповідь

На $11$.

Ділення з остачею

$a = q \cdot n + r$, де $0 \leqslant r < n$. Тут $a$ — ділене, $n$ — дільник, $q$ — частка, $r$ — остача.

Ключова ідея. Умова «остача = 25% від частки» означає $r = q/4$. Підставляємо в формулу ділення і отримуємо $q(4n+1)=720$. Далі шукаємо розкладання 720 у вигляді добутку, де один множник має вигляд $4n+1$ (тобто дає остачу 1 при діленні на 4).

Чому $n=11$ єдине рішення. $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$. Дільники виду $4n+1$: $1, 5, 9, 45$... При $4n+1=45$: $n=11$, $q=16$, $r=4$ — умова $r<n$ виконана ($4<11$). При $4n+1=9$: $n=2$, $q=80$, $r=20$ — але $r=20>n=2$, порушення. Тому $n=11$ — єдина відповідь.