Вправа 12.1 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.1. (Усно.) Які з нерівностей є квадратними:
- $2x + 3 > 0$;
- $3x^2 - 7x - 5 \geqslant 0$;
- $\dfrac{1}{x^2 - 5x} < 0$;
- $9x^2 - 3x^3 \leqslant 0$;
- $x^2 + 7x < 0$;
- $x^2 + 9 \geqslant 0$?
Квадратна нерівність — це нерівність виду $ax^2 + bx + c \;\square\; 0$, де $a \neq 0$, а $\square$ — один із знаків $>,\, <,\, \geqslant,\, \leqslant$. Старший степінь змінної — рівно другий, і нерівність є цілою (не дробовою).
1) $2x + 3 > 0$
Степінь змінної — перший. Не квадратна (лінійна нерівність).
2) $3x^2 - 7x - 5 \geqslant 0$
$a = 3 \neq 0$, старший степінь — другий, нерівність ціла. Квадратна.
3) $\dfrac{1}{x^2 - 5x} < 0$
Нерівність дробова (змінна стоїть у знаменнику). Не квадратна.
4) $9x^2 - 3x^3 \leqslant 0$
Старший степінь — третій ($-3x^3$). Не квадратна (кубічна нерівність).
5) $x^2 + 7x < 0$
$a = 1 \neq 0$, старший степінь — другий, нерівність ціла. Квадратна.
6) $x^2 + 9 \geqslant 0$
$a = 1 \neq 0$, старший степінь — другий, нерівність ціла. Квадратна.
Означення квадратної нерівності
Нерівність виду $ax^2 + bx + c \;\square\; 0$, де $a \neq 0$, $b$, $c$ — дійсні числа, а $\square \in \{>,\, <,\, \geqslant,\, \leqslant\}$.
Ключова умова: $a \neq 0$ (інакше нерівність не є квадратною) і нерівність — ціла (не дробова, не ірраціональна).
Як розпізнати тип нерівності
Лінійна: старший степінь = 1 (приклад: $2x + 3 > 0$).
Квадратна: старший степінь = 2 і нерівність ціла (приклад: $x^2 + 7x < 0$).
Кубічна: старший степінь = 3 (приклад: $-3x^3 + \ldots \leqslant 0$).
Дробово-раціональна: змінна у знаменнику (приклад: $\dfrac{1}{x^2-5x} < 0$).
Чому (3) не квадратна, хоча в знаменнику є $x^2$? Квадратна нерівність — це ціла нерівність. Якщо змінна стоїть у знаменнику, нерівність є дробово-раціональною — окремий клас із своїм методом розв'язання.
Чому (4) не квадратна, хоча є $x^2$? Дивимося на старший степінь. У $9x^2 - 3x^3$ найбільший степінь — третій. Якби $x^3$ не було, тоді квадратна. Але $-3x^3 \neq 0$ — це кубічна нерівність.
Пункт (6) — цікавий випадок. $x^2 + 9 \geqslant 0$ — квадратна нерівність, яка виконується завжди. Її розв'язком є вся числова пряма $(-\infty;\, +\infty)$. Це не означає, що вона «не нерівність» — просто її розв'язком є $\mathbb{R}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.