Вправа 12.10 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.10. Знайдіть множину розв'язків нерівності:
- $x^2 - 3x - 40 \geqslant 0$;
- $x^2 - 8x + 15 < 0$;
- $-x^2 + 6x + 7 \leqslant 0$;
- $-x^2 - 5x - 4 > 0$.
1) $x^2 - 3x - 40 \geqslant 0$
$D = 9 + 160 = 169$; $\sqrt{D} = 13$.
$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm 13}{2}$: $x_1 = -5$, $x_2 = 8$.
Гілки вгору ($a = 1 > 0$) — $y \geqslant 0$ зовні від нулів.
2) $x^2 - 8x + 15 < 0$
$D = 64 - 60 = 4$; $\sqrt{D} = 2$.
$x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 2}{2}$: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Гілки вгору — $y < 0$ між нулями.
3) $-x^2 + 6x + 7 \leqslant 0$
$D = 36 + 28 = 64$; $\sqrt{D} = 8$.
$x_{1,2} = \dfrac{-6 \pm 8}{-2}$: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.
Гілки вниз ($a = -1$) — $y \leqslant 0$ зовні від нулів.
4) $-x^2 - 5x - 4 > 0$
$D = 25 - 16 = 9$; $\sqrt{D} = 3$.
$x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 3}{-2}$: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.
Гілки вниз — $y > 0$ між нулями.
Алгоритм розв'язання квадратної нерівності
1) Визначити $a$ (знак і напрямок гілок). 2) Знайти нулі через $D = b^2 - 4ac$. 3) Побудувати схематичну параболу. 4) Зчитати відповідь.
Дискримінант і корені
$D = b^2 - 4ac$; $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Знак функції відносно нулів
$a > 0$: «парабола вгору» — $y > 0$ зовні $[x_1;\,x_2]$, $y < 0$ між нулями.
$a < 0$: «парабола вниз» — $y > 0$ між нулями, $y < 0$ зовні.
Корені через формулу $x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$. Уважно зі знаком при від'ємному $a$. У (3) $a=-1$, $b=6$: $x_{1,2} = \dfrac{-6\pm8}{-2}$. Знаменник від'ємний — не забудь змінити знаки: $\dfrac{-6+8}{-2} = \dfrac{2}{-2} = -1$; $\dfrac{-6-8}{-2} = \dfrac{-14}{-2} = 7$.
Альтернатива для (3) і (4) — звести до стандартного вигляду. У (3) помнож на $-1$: $x^2 - 6x - 7 \geqslant 0$ (знак нерівності міняється). Далі $a=1$ і плутанини з від'ємним $a$ немає.
Перевірка відповіді. У (2) відповідь $(3;5)$. Підстав $x=4$: $16-32+15=-1 < 0$ ✓. Підстав $x=6$: $36-48+15=3 > 0$, не входить ✓.
Часті помилки. 1) Перепутати «між» і «зовні» при від'ємному $a$. 2) У (1) написати $(−5;\,8)$ замість $(-\infty;-5]\cup[8;+\infty)$. 3) Поставити круглу дужку замість квадратної у нестрогих нерівностях (1) і (3).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.