Вправа 12.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.11. Знайдіть множину розв'язків нерівності:
- $x^2 - 7x + 12 \leqslant 0$;
- $x^2 - 2x - 24 > 0$;
- $-x^2 - x + 6 \geqslant 0$;
- $-x^2 + 3x + 10 < 0$.
1) $x^2 - 7x + 12 \leqslant 0$
$D = 49 - 48 = 1$; $\sqrt{D} = 1$.
$x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 1}{2}$: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.
Гілки вгору — $y \leqslant 0$ між нулями.
2) $x^2 - 2x - 24 > 0$
$D = 4 + 96 = 100$; $\sqrt{D} = 10$.
$x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 10}{2}$: $x_1 = -4$, $x_2 = 6$.
Гілки вгору — $y > 0$ зовні від нулів.
3) $-x^2 - x + 6 \geqslant 0$
$D = 1 + 24 = 25$; $\sqrt{D} = 5$.
$x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 5}{-2}$: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
Гілки вниз — $y \geqslant 0$ між нулями.
4) $-x^2 + 3x + 10 < 0$
$D = 9 + 40 = 49$; $\sqrt{D} = 7$.
$x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm 7}{-2}$: $x_1 = -2$, $x_2 = 5$.
Гілки вниз — $y < 0$ зовні від нулів.
Дискримінант і корені
$D = b^2 - 4ac$; $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Теорема Вієта (перевірка коренів)
Для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 \cdot x_2 = q$.
У (1): $3+4=7$ ✓, $3\cdot4=12$ ✓; у (2): $-4+6=2$ ✓, $-4\cdot6=-24$ ✓.
Знак функції відносно нулів
$a > 0$: $y \leqslant 0$ між $[x_1;\,x_2]$; $y \geqslant 0$ зовні.
$a < 0$: $y \geqslant 0$ між $[x_1;\,x_2]$; $y \leqslant 0$ зовні.
У (1) дуже маленький проміжок — тільки $[3;\,4]$. Це нормально: великий дискримінант $\Rightarrow$ широкий проміжок, малий (тут $D=1$) $\Rightarrow$ вузький. Парабола зрізана вузьким «шматочком» під віссю $x$.
Пункти (1) і (2) можна розв'язати через Вієта без дискримінанта. У (1) шукаємо два числа з сумою 7 і добутком 12 — очевидно 3 і 4. У (2) сума 2, добуток −24 → числа −4 і 6. Значно швидше!
Формула коренів при від'ємному $a$. У (3): $a=-1$, $b=-1$, $c=6$. Підставляємо: $\dfrac{-(-1)\pm5}{2\cdot(-1)} = \dfrac{1\pm5}{-2}$. Не поспішай: $\dfrac{1+5}{-2}=-3$; $\dfrac{1-5}{-2}=2$.
Часті помилки. 1) У (3) і (4) переплутати «між» і «зовні» через від'ємне $a$. 2) У (1) поставити круглі дужки — нерівність нестрога! 3) У (2) написати $[-4;\,6]$ — тут строга нерівність, «зовні», з круглими дужками.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.