Вправа 12.12 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 12.12. Знайдіть, за яких значень $x$ квадратний тричлен:

$x^2 - 5x - 6$ набуває додатних значень;
$x^2 + x - 12$ набуває від'ємних значень.

Розв'язання

1) $x^2 - 5x - 6 > 0$

$D = 25 + 24 = 49$; $\sqrt{D} = 7$.

$x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{2}$: $x_1 = -1$, $x_2 = 6$.

Гілки вгору — $y > 0$ зовні від нулів.

Відповідь

$x \in (-\infty;\,-1) \cup (6;\,+\infty)$.

2) $x^2 + x - 12 < 0$

$D = 1 + 48 = 49$; $\sqrt{D} = 7$.

$x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2}$: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.

Гілки вгору — $y < 0$ між нулями.

Відповідь

$x \in (-4;\,3)$.

«Набуває додатних значень» = нерівність $f(x) > 0$

«Додатних» → $f(x) > 0$ (строга). «Від'ємних» → $f(x) < 0$ (строга). «Невід'ємних» → $f(x) \geqslant 0$.

Дискримінант і корені

$D = b^2 - 4ac$; $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Обидва пункти з $a=1$ — корені зручно знайти через Вієта. У (1): шукаємо числа з сумою 5 і добутком −6 → це −1 і 6. У (2): сума −1, добуток −12 → −4 і 3. Дискримінант не потрібен.

Часті помилки. 1) «Додатних» → поставити $\geqslant$ замість $>$. 2) У (1) написати інтервал між нулями замість зовнішнього.