Вправа 12.18 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.18. Знайдіть область визначення функції:
- $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3}$;
- $y = \dfrac{1}{\sqrt{12 - x - x^2}}$.
1) $y = \sqrt{x^2 + 2x - 3}$
Підкореневий вираз $\geqslant 0$: $x^2 + 2x - 3 \geqslant 0$.
$D = 4 + 12 = 16$; $\sqrt{D} = 4$.
$x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 4}{2}$: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
Гілки вгору — $y \geqslant 0$ зовні від нулів.
2) $y = \dfrac{1}{\sqrt{12 - x - x^2}}$
Підкореневий вираз $> 0$ (знаменник $\neq 0$): $12 - x - x^2 > 0$, тобто $-x^2 - x + 12 > 0$.
$D = 1 + 48 = 49$; $\sqrt{D} = 7$.
$x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 7}{-2}$: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
Гілки вниз ($a=-1$) — $y > 0$ між нулями.
Область визначення функцій з коренем
$\sqrt{f(x)}$ існує при $f(x) \geqslant 0$.
$\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ існує при $f(x) > 0$ (знаменник не може дорівнювати нулю).
Дискримінант і корені
$D = b^2 - 4ac$; $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Різниця між (1) і (2). У (1) підкоренений вираз може дорівнювати нулю ($\sqrt{0}=0$ — допустимо), тому нерівність нестрога $\geqslant 0$. У (2) він стоїть у знаменнику, тому ділення на нуль заборонено — нерівність строга $> 0$, і нулі не входять у відповідь.
Корені у (2) через від'ємний $a$. $x_{1,2}=\frac{1\pm7}{-2}$: при «$+$»: $\frac{8}{-2}=-4$; при «$-$»: $\frac{-6}{-2}=3$. Альтернатива — помножити нерівність на $-1$: $x^2+x-12 < 0$, корені $-4$ і $3$, між ними.
Часті помилки. 1) У (2) поставити квадратні дужки $[-4;3]$ — але знаменник у нулях дорівнює нулю, функція там не визначена. 2) У (1) написати строгу нерівність $>0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.