Вправа 12.21 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.21. Знайдіть множину розв'язків нерівності:
- $x^2 + 8x + 16 < 0$;
- $25x^2 - 10x + 1 \geqslant 0$;
- $9 - 6x + x^2 \leqslant 0$;
- $100x^2 - 120x + 36 > 0$;
- $2x - x^2 - 1 \geqslant 0$;
- $-64x^2 - 112x - 49 \leqslant 0$;
- $-36x^2 + 60x - 25 > 0$;
- $-x^2 + 16x - 64 < 0$.
В усіх пунктах $D = 0$ — тричлен є точним квадратом двочлена.
1) $x^2 + 8x + 16 < 0$
$(x+4)^2 < 0$ — квадрат не буває від'ємним.
2) $25x^2 - 10x + 1 \geqslant 0$
$(5x-1)^2 \geqslant 0$ — квадрат завжди невід'ємний.
3) $9 - 6x + x^2 \leqslant 0$
$(x-3)^2 \leqslant 0$ — виконується лише при $x - 3 = 0$.
4) $100x^2 - 120x + 36 > 0$
$4(25x^2 - 30x + 9) > 0$; $4(5x-3)^2 > 0$ — виконується скрізь, крім $x = \dfrac{3}{5}$.
5) $2x - x^2 - 1 \geqslant 0$
$-(x^2 - 2x + 1) \geqslant 0$; $-(x-1)^2 \geqslant 0$ — виконується лише при $x = 1$.
6) $-64x^2 - 112x - 49 \leqslant 0$
$-(64x^2 + 112x + 49) \leqslant 0$; $-(8x+7)^2 \leqslant 0$ — виконується завжди.
7) $-36x^2 + 60x - 25 > 0$
$-(36x^2 - 60x + 25) > 0$; $-(6x-5)^2 > 0$ — квадрат не може бути від'ємним.
8) $-x^2 + 16x - 64 < 0$
$-(x^2 - 16x + 64) < 0$; $-(x-8)^2 < 0$ — виконується скрізь, крім $x = 8$.
Повний квадрат двочлена
$(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$; ознака: $D = 0$.
Чотири випадки для $\pm\square^2 \gtrless 0$
$+\square^2 \geqslant 0$ → $\mathbb{R}$; $+\square^2 > 0$ → $x \neq x_0$.
$+\square^2 \leqslant 0$ → $x = x_0$; $+\square^2 < 0$ → $\emptyset$.
При $-\square^2$ — усі чотири відповіді міняються місцями.
Виносити спільний множник перед квадратом
$100x^2 - 120x + 36 = 4(25x^2 - 30x + 9) = 4(5x-3)^2$. Множник $4 > 0$ — не змінює знак нерівності.
Як розпізнати повний квадрат з коефіцієнтом $\neq 1$. У (4): $100x^2 - 120x + 36$. Корінь з $100$ — це $10$, корінь з $36$ — це $6$, подвійний добуток $2\cdot10\cdot6=120$ ✓. Тобто $(10x-6)^2$. Або спрощуємо: виносимо $4$ і отримуємо $4(5x-3)^2$.
У (6): перевірка $-(8x+7)^2$. $(8x)^2=64x^2$ ✓, $2\cdot8x\cdot7=112x$ ✓, $7^2=49$ ✓.
Таблиця відповідей. З восьми пунктів: два дають $\mathbb{R}$ (1 нестрога з $+$, 1 нестрога з $-$), два дають $\emptyset$ (строгі, протилежні напрямки), два дають одну точку, два дають «всі крім точки».
Часті помилки. 1) У (4) не помітити спільний множник $4$ і писати $(10x-6)^2$ — результат той самий, але акуратніше спрощувати. 2) У (8) написати $\mathbb{R}$ — але $x=8$ не входить, бо нерівність строга.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.