Вправа 12.26 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 12.26. Розв'яжіть нерівність:

$x^2 + x + 7 \geqslant 0$;
$x^2 - 2x + 5 < 0$;
$-x^2 - 2x - 9 \leqslant 0$;
$-3x^2 + 4x - 5 > 0$.

Розв'язання

В усіх пунктах $D < 0$ — парабола не перетинає вісь $x$. Знак функції визначається тільки знаком $a$.

1) $x^2 + x + 7 \geqslant 0$

$D = 1 - 28 = -27 < 0$; $a = 1 > 0$ — парабола цілком вище осі $x$, тобто $y > 0$ при всіх $x$.

Нерівність $\geqslant 0$ виконується завжди.

Відповідь

$x \in \mathbb{R}$.

2) $x^2 - 2x + 5 < 0$

$D = 4 - 20 = -16 < 0$; $a = 1 > 0$ — парабола цілком вище осі $x$, тобто $y > 0$ при всіх $x$.

Нерівність $< 0$ не виконується ніколи.

Відповідь

$\emptyset$.

3) $-x^2 - 2x - 9 \leqslant 0$

$D = 4 - 36 = -32 < 0$; $a = -1 < 0$ — парабола цілком нижче осі $x$, тобто $y < 0$ при всіх $x$.

Нерівність $\leqslant 0$ виконується завжди.

Відповідь

$x \in \mathbb{R}$.

4) $-3x^2 + 4x - 5 > 0$

$D = 16 - 60 = -44 < 0$; $a = -3 < 0$ — парабола цілком нижче осі $x$, тобто $y < 0$ при всіх $x$.

Нерівність $> 0$ не виконується ніколи.

Відповідь

$\emptyset$.

Випадок $D < 0$

Якщо $D < 0$, парабола не перетинає вісь $x$ і знаходиться повністю з одного боку:

$a > 0$: $y > 0$ при всіх $x$ → нерівність $>0$ і $\geqslant0$: $\mathbb{R}$; нерівність $<0$ і $\leqslant0$: $\emptyset$.

$a < 0$: $y < 0$ при всіх $x$ → нерівність $<0$ і $\leqslant0$: $\mathbb{R}$; нерівність $>0$ і $\geqslant0$: $\emptyset$.

Достатньо перевірити знак $D$ і знак $a$. При $D<0$ навіть не потрібно знаходити корені — їх немає. Все визначає тільки $a$: вгору чи вниз «летить» парабола.

Мнемоніка. $D<0$, $a>0$: парабола-«посмішка» вся над віссю — завжди додатна. $D<0$, $a<0$: парабола-«смуток» вся під віссю — завжди від'ємна.

Часті помилки. 1) Намагатися знайти корені при $D<0$. 2) У (1) написати $\emptyset$ через плутанину зі знаком нерівності.