Вправа 12.28 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.28. Доведіть, що за будь-якого значення $x$ справджується нерівність:
- $3x^2 - x + 1 > 0$;
- $6x < x^2 + 10$.
1) $3x^2 - x + 1 > 0$
$D = 1 - 12 = -11 < 0$; $a = 3 > 0$.
$D < 0$ і $a > 0$ — парабола не перетинає вісь $x$ і розміщена повністю вище неї.
Отже, $3x^2 - x + 1 > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$. $\blacksquare$
2) $6x < x^2 + 10$
Рівносильно: $x^2 - 6x + 10 > 0$.
$D = 36 - 40 = -4 < 0$; $a = 1 > 0$.
$D < 0$ і $a > 0$ — вираз $x^2 - 6x + 10 > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$. $\blacksquare$
Ознака знакосталості квадратного тричлена
Якщо $D < 0$ і $a > 0$, то $ax^2+bx+c > 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.
Якщо $D < 0$ і $a < 0$, то $ax^2+bx+c < 0$ для всіх $x \in \mathbb{R}$.
Структура доведення. Достатньо двох рядків: обчислити $D$, встановити знак $a$, зробити висновок. Символ $\blacksquare$ або «що й треба було довести» завершує доведення.
Альтернатива — виділення повного квадрата. У (2): $x^2-6x+10=(x-3)^2+1\geqslant1>0$. Це навіть наочніше, бо показує, що мінімум дорівнює $1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.