Вправа 12.39 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.39. Розв'яжіть нерівність:
- $\dfrac{x^2 - 8x + 15}{(x-4)^2} \leqslant 0$;
- $\dfrac{x^2 + x - 2}{|x-2|} > 0$.
1) $\dfrac{x^2 - 8x + 15}{(x-4)^2} \leqslant 0$
Знаменник $(x-4)^2 > 0$ при $x \neq 4$; при $x=4$ дріб не визначений.
Знак дробу визначається тільки чисельником: $x^2-8x+15 \leqslant 0$.
$(x-3)(x-5)\leqslant0$ — $x\in[3;\,5]$.
Виключаємо $x=4$: $[3;\,4)\cup(4;\,5]$.
2) $\dfrac{x^2 + x - 2}{|x-2|} > 0$
$|x-2| > 0$ при $x \neq 2$; при $x=2$ дріб не визначений.
Знак дробу визначається тільки чисельником: $x^2+x-2 > 0$.
$(x+2)(x-1)>0$ — $x\in(-\infty;\,-2)\cup(1;\,+\infty)$.
Точка $x=2$ вже не входить у $(-\infty;-2)$, але входить у $(1;+\infty)$ — виключаємо.
Знак дробу при знакосталому знаменнику
Якщо знаменник завжди $>0$ (як $(x-4)^2$ або $|x-2|$), то знак дробу збігається зі знаком чисельника. Залишається розв'язати нерівність для чисельника і виключити точки, де знаменник $=0$.
Ключове спостереження. $(x-4)^2\geqslant0$ завжди, і $=0$ лише при $x=4$. $|x-2|\geqslant0$ завжди, і $=0$ при $x=2$. В обох випадках знаменник не змінює знак дробу — тільки «обнулює» його в одній точці.
Часті помилки. 1) Забути виключити $x=4$ у (1) або $x=2$ у (2). 2) Намагатися аналізувати знак $(x-4)^2$ як змінний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.