Вправа 12.42 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.42. За яких значень $a$ не має коренів рівняння:
- $x^2 - (a-2)x + 4 = 0$;
- $(a+1)x^2 + 5ax + 3a = 0$?
1) $x^2 - (a-2)x + 4 = 0$
Коефіцієнт при $x^2$ дорівнює $1\neq0$ — завжди квадратне рівняння.
Немає коренів при $D < 0$:
$D = (a-2)^2 - 16 < 0$.
$(a-2)^2 < 16$; $|a-2| < 4$; $-4 < a-2 < 4$; $-2 < a < 6$.
2) $(a+1)x^2 + 5ax + 3a = 0$
Якщо $a = -1$: рівняння $-5x - 3 = 0$, $x = -\dfrac{3}{5}$ — один корінь (є).
Якщо $a = 0$: рівняння $x^2 = 0$, $x = 0$ — корінь є.
Якщо $a \neq -1$ і $a \neq 0$: квадратне рівняння без коренів при $D < 0$:
$D = 25a^2 - 4 \cdot (a+1) \cdot 3a = 25a^2 - 12a^2 - 12a = 13a^2 - 12a < 0$.
$a(13a - 12) < 0$; нулі: $a_1 = 0$, $a_2 = \dfrac{12}{13}$. Гілки вгору — $y < 0$ між нулями: $a \in \left(0;\,\dfrac{12}{13}\right)$.
Значення $a=0$ і $a=-1$ вже виключені вище (рівняння має корінь). Отже, відповідь: $a\in\left(0;\,\dfrac{12}{13}\right)$.
Умова відсутності коренів квадратного рівняння
$ax^2+bx+c=0$ не має коренів при $D = b^2-4ac < 0$.
Якщо коефіцієнт при $x^2$ може дорівнювати нулю — розглядати цей випадок окремо.
У (2) обов'язково перевірити $a=-1$ і $a=0$. При $a=-1$ рівняння стає лінійним і має корінь. При $a=0$ рівняння вироджується в $x^2=0$, тоді $x=0$ — теж корінь. Обидва значення не входять у відповідь.
У (1) модульна нерівність. $|a-2|<4$ рівносильна $-4<a-2<4$, звідки $-2<a<6$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.