Вправа 12.43 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.43. За яких значень $a$ рівняння має два різних корені:
- $x^2 - ax + (2a-3) = 0$;
- $ax^2 + (3a-2)x + a = 0$?
1) $x^2 - ax + (2a-3) = 0$
Два різних корені при $D > 0$:
$D = a^2 - 4(2a-3) = a^2 - 8a + 12 > 0$.
$(a-2)(a-6) > 0$ — $a\in(-\infty;\,2)\cup(6;\,+\infty)$.
2) $ax^2 + (3a-2)x + a = 0$
Якщо $a = 0$: рівняння $-2x = 0$, $x = 0$ — один корінь.
Якщо $a \neq 0$: два різних корені при $D > 0$:
$D = (3a-2)^2 - 4a^2 = 9a^2 - 12a + 4 - 4a^2 = 5a^2 - 12a + 4 > 0$.
$D_a = 144 - 80 = 64$; $a_{1,2} = \dfrac{12 \pm 8}{10}$: $a_1 = \dfrac{2}{5}$, $a_2 = 2$.
Гілки вгору — $y > 0$ зовні: $a\in\left(-\infty;\,\dfrac{2}{5}\right)\cup(2;\,+\infty)$.
Виключаємо $a=0$: $a\in\left(-\infty;\,0\right)\cup\left(0;\,\dfrac{2}{5}\right)\cup(2;\,+\infty)$.
Умова двох різних коренів
$ax^2+bx+c=0$ має два різних корені при $D = b^2-4ac > 0$ (і $a\neq0$).
У (1) нерівність для $a$ — сама квадратна нерівність. $a^2-8a+12>0$ — розв'язуємо як звичайну квадратну нерівність відносно $a$: корені $2$ і $6$, зовні.
У (2) $a=0$ перевіряємо окремо. Він потрапляє в інтервал $(-\infty;\frac{2}{5})$, але при $a=0$ рівняння не квадратне. Тому «вирізаємо» точку $0$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.