Вправа 12.45 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.45. За яких значень $m$ розв'язком нерівності є будь-яке число:
- $x^2 - (m+2)x + (8m+1) > 0$;
- $mx^2 - 4x + m + 3 < 0$?
1) $x^2 - (m+2)x + (8m+1) > 0$ для всіх $x$
Коефіцієнт $a=1>0$. Нерівність виконується для всіх $x$ при $D < 0$:
$D = (m+2)^2 - 4(8m+1) < 0$.
$m^2 + 4m + 4 - 32m - 4 < 0$.
$m^2 - 28m < 0$.
$m(m-28) < 0$ — $m \in (0;\,28)$.
2) $mx^2 - 4x + m + 3 < 0$ для всіх $x$
Щоб парабола була цілком нижче осі $x$, потрібно $m < 0$ і $D < 0$:
$D = 16 - 4m(m+3) < 0$.
$16 - 4m^2 - 12m < 0$.
$m^2 + 3m - 4 > 0$.
$(m+4)(m-1) > 0$ — $m \in (-\infty;\,-4) \cup (1;\,+\infty)$.
Перетин з умовою $m < 0$: $m \in (-\infty;\,-4)$.
Нерівність виконується для всіх $x$
$ax^2+bx+c > 0$ для всіх $x$ $\Leftrightarrow$ $a > 0$ і $D < 0$.
$ax^2+bx+c < 0$ для всіх $x$ $\Leftrightarrow$ $a < 0$ і $D < 0$.
У (2) дві умови одночасно. Мало $D<0$ — недостатньо: потрібно ще $m<0$, бо при $m>0$ парабола «дивиться вгору» і не може бути цілком від'ємною. Перетин $(−\infty;−4)\cup(1;+\infty)$ з $m<0$ дає тільки $(-\infty;-4)$.
Окремий випадок $m=0$ у (2). При $m=0$ рівняння $-4x+3<0$, тобто $x>\frac{3}{4}$ — не для всіх $x$. Тому $m=0$ не підходить, що узгоджується з відповіддю.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.