Вправа 12.47 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.47. Доведіть, що $26x^2 - 10x + 2xy + y^2 + 2 > 0$ за будь-яких значень $x$ та $y$.
Перегрупуємо вираз:
$26x^2 - 10x + 2xy + y^2 + 2$
$= (x^2 + 2xy + y^2) + (25x^2 - 10x + 1) + 1$
$= (x+y)^2 + (5x-1)^2 + 1$.
Оскільки $(x+y)^2 \geqslant 0$ і $(5x-1)^2 \geqslant 0$, маємо:
$(x+y)^2 + (5x-1)^2 + 1 \geqslant 0 + 0 + 1 = 1 > 0$. $\blacksquare$
Метод виділення повних квадратів
Сума квадратів $\geqslant 0$, тому якщо вираз можна подати як суму квадратів плюс додатна константа — він завжди додатний.
Як помітити розбиття. Є член $2xy$ — це підказка для $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Беремо $x^2+2xy+y^2$ з виразу, залишок $25x^2-10x+1=(5x-1)^2$, і ще $+1$.
Мінімальне значення. Вираз досягає мінімуму $1$ при $x+y=0$ і $5x-1=0$, тобто $x=\frac{1}{5}$, $y=-\frac{1}{5}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.