Вправа 12.5 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.5. На малюнку схематично зображено графік функції $y = -x^2 + 2x$. Використовуючи графік, запишіть розв'язки нерівності:
- $-x^2 + 2x < 0$;
- $-x^2 + 2x \leqslant 0$;
- $-x^2 + 2x > 0$;
- $-x^2 + 2x \geqslant 0$.
Нулі функції $y = -x^2 + 2x$:
$-x^2 + 2x = 0$; $\;-x(x - 2) = 0$; $\quad x_1 = 0,\; x_2 = 2$.
$a = -1 < 0$ — гілки вниз: парабола додатна між нулями і від'ємна зовні.
1) $-x^2 + 2x < 0$
Графік нижче осі $x$ — зовні нулів, суворо.
2) $-x^2 + 2x \leqslant 0$
Графік нижче або на осі $x$ — зовні нулів, нулі включаємо.
3) $-x^2 + 2x > 0$
Графік вище осі $x$ — між нулями, суворо.
4) $-x^2 + 2x \geqslant 0$
Графік вище або на осі $x$ — між нулями, нулі включаємо.
Парабола вниз ($a < 0$)
$y > 0$: графік вище осі $x$ — між нулями: $x \in (x_1;\, x_2)$.
$y < 0$: графік нижче осі $x$ — зовні нулів: $x \in (-\infty;\, x_1) \cup (x_2;\, +\infty)$.
Для нестрогих нерівностей — нулі включаємо (квадратні дужки).
Порівняння: $a > 0$ vs $a < 0$
При $a > 0$ і при $a < 0$ відповіді для «$>0$» і «$<0$» міняються місцями. Якщо запам'ятати поведінку параболи вгору — поведінку вниз отримаємо «навпаки».
Порівняй 12.4 і 12.5. У 12.4 парабола вгору ($a=2$), у 12.5 — вниз ($a=-1$). Логіка «де $y>0$» і «де $y<0$» повністю протилежна. Постав їх поруч і побачиш симетрію відповідей.
Пункти (1) і (3) — строгі, (2) і (4) — нестрогі. Єдина відмінність — чи входять нулі $0$ і $2$. Перевір: $x=0$ дає $y=0$, що не задовольняє строгі нерівності $<0$ і $>0$, але задовольняє нестрогі.
Перевірка (3): $x=1$: $-1+2=1>0$ ✓. $x=3$: $-9+6=-3>0$? Ні ✓ (3 не входить у відповідь $(0;\,2)$).
Корисна симетрія: відповіді (1) і (3) разом дають усю числову пряму (без нулів), а (2) і (4) разом — також усю пряму. Це хороша перевірка: якщо об'єднання двох відповідей не дає $\mathbb{R}$ — десь помилка.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.