Вправа 12.54 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 12.54. Відомо, що числа $a$, $b$ і $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ є раціональними. Чи можна стверджувати, що числа $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ теж раціональні?

Розв'язання

Нехай $\sqrt{a} + \sqrt{b} = r$, де $r$ — раціональне число.

Випадок $r = 0$. Оскільки $a, b \geqslant 0$, маємо $\sqrt{a} = \sqrt{b} = 0$, тобто $a = b = 0$ і $\sqrt{a} = \sqrt{b} = 0$ — раціональні. ✓

Випадок $r \neq 0$. Запишемо різницю квадратів:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \dfrac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{a - b}{r}$.

Оскільки $a$, $b$ і $r$ раціональні, то $\dfrac{a-b}{r}$ теж раціональне.

Звідси:

$\sqrt{a} = \dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{2} = \dfrac{r + \dfrac{a-b}{r}}{2}$ — раціональне.

$\sqrt{b} = r - \sqrt{a}$ — теж раціональне.

Отже, в обох випадках $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ є раціональними числами. $\blacksquare$

Відповідь

Так, можна. $\sqrt{a}$ і $\sqrt{b}$ є раціональними числами.

Різниця квадратів

$a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, звідси $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

Властивості раціональних чисел

Сума, різниця, добуток і частка (при ненульовому дільнику) раціональних чисел — раціональне число.

Ключова ідея. Знаючи суму $\sqrt{a}+\sqrt{b}=r$ і різницю квадратів $a-b$, можна знайти різницю $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{r}$. Маючи і суму, і різницю, знаходимо кожну з величин окремо.

Чому випадок $r=0$ треба розглядати окремо. При $r=0$ ділення на $r$ заборонено. Але $\sqrt{a}+\sqrt{b}=0$ при невід'ємних $a,b$ можливо лише якщо $a=b=0$ — і тоді обидва кореня нульові, тобто раціональні.

Приклад для перевірки. $a=4$, $b=9$: $\sqrt{4}+\sqrt{9}=5$ — раціональне; $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$ — раціональні ✓. $a=2$, $b=2$: $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ — ірраціональне, тому умова задачі не виконується.