Вправа 12.8 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.8. Розв'яжіть нерівність:
- $x^2 - 16 \leqslant 0$;
- $x^2 - 4 > 0$;
- $-x^2 + 1 \geqslant 0$;
- $25 - x^2 < 0$.
1) $x^2 - 16 \leqslant 0$
2) $x^2 - 4 > 0$
3) $-x^2 + 1 \geqslant 0$
4) $25 - x^2 < 0$
Різниця квадратів
$x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$.
Нулі: $x_1 = -a,\; x_2 = a$.
Рівносильне перетворення
У пункті (4): $25 - x^2 < 0 \;\Leftrightarrow\; -x^2 + 25 < 0$ — форма не важлива, головне правильно визначити знак $a$ (коефіцієнта при $x^2$).
Висновки для $a > 0$ і $a < 0$
$a > 0$, нерівність $\leqslant 0$: проміжок $[x_1;\, x_2]$.
$a > 0$, нерівність $> 0$: об'єднання $(-\infty;\, x_1) \cup (x_2;\, +\infty)$.
$a < 0$, нерівність $\geqslant 0$: проміжок $[x_1;\, x_2]$.
$a < 0$, нерівність $< 0$: об'єднання $(-\infty;\, x_1) \cup (x_2;\, +\infty)$.
Відмінність від 12.6 і 12.7 — тут нулі знаходяться через різницю квадратів, а не винесенням $x$ за дужки. Звертай увагу: якщо тричлен має вигляд $x^2 - k^2$, то нулі одразу $\pm k$.
Пункт (4): запис $25 - x^2$ незвичний — $x^2$ іде зі знаком мінус. Це не парабола вгору! Перепиши як $-x^2 + 25$, щоб ясно бачити $a = -1 < 0$ — гілки вниз.
Пункти (1) і (3) — нестрогі нерівності, нулі входять у відповідь (квадратні дужки). Пункти (2) і (4) — строгі, нулі не входять (круглі дужки).
Порівняй (1) і (2): майже однакова нерівність ($x^2 - 16$ і $x^2 - 4$), але знак протилежний — і відповіді «перевернуті» відносно одна одної. Саме це відчуття симетрії допоможе не плутатися.
Перевірка через точку: у (1) підставимо $x=0$: $0-16=-16 \leqslant 0$ ✓. У (2) підставимо $x=3$: $9-4=5 > 0$ ✓. У (4) підставимо $x=6$: $25-36=-11 < 0$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.