Вправа 12.9 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 12.9. Розв'яжіть нерівність:
- $x^2 - 36 > 0$;
- $x^2 - 100 \leqslant 0$;
- $-x^2 + 64 < 0$;
- $9 - x^2 \geqslant 0$.
1) $x^2 - 36 > 0$
$(x-6)(x+6) > 0$; нулі $x_1 = -6$, $x_2 = 6$. Гілки вгору ($a=1 > 0$) — шукаємо де $y > 0$, тобто зовні від нулів.
2) $x^2 - 100 \leqslant 0$
$(x-10)(x+10) \leqslant 0$; нулі $x_1 = -10$, $x_2 = 10$. Гілки вгору — шукаємо де $y \leqslant 0$, тобто між нулями включно.
3) $-x^2 + 64 < 0$
$-(x-8)(x+8) < 0$, тобто $(x-8)(x+8) > 0$; нулі $x_1 = -8$, $x_2 = 8$. Гілки вниз ($a=-1$) — шукаємо де $y < 0$, тобто зовні від нулів.
4) $9 - x^2 \geqslant 0$
$-x^2 + 9 \geqslant 0$; нулі: $x^2 = 9$, $x_1 = -3$, $x_2 = 3$. Гілки вниз ($a=-1$) — шукаємо де $y \geqslant 0$, тобто між нулями включно.
Нерівність виду $x^2 - c^2 \gtrless 0$
$x^2 - c^2 = (x-c)(x+c)$. Нулі $x_1 = -c$, $x_2 = c$ (симетричні відносно нуля).
Правило знаків для $ax^2 + c = 0$, де $b = 0$
$a > 0$ (гілки вгору): $y > 0$ зовні від нулів; $y < 0$ між нулями.
$a < 0$ (гілки вниз): $y > 0$ між нулями; $y < 0$ зовні.
Строга / нестрога нерівність і тип дужок
Строга ($<$, $>$) — нулі не входять, дужки круглі.
Нестрога ($\leqslant$, $\geqslant$) — нулі входять, дужки квадратні.
Як розпізнати цей тип. В усіх чотирьох пунктах немає члена з $x$ (тобто $b = 0$). Тому нулі симетричні: $\pm6$, $\pm10$, $\pm8$, $\pm3$. Можна навіть не розкладати на множники — просто перенести константу: $x^2 > 36$ ⇒ $|x| > 6$ ⇒ $x < -6$ або $x > 6$.
Знак $a$ і «зовні/між». Запам'ятай одне правило: «парабола вгору — додатна зовні нулів; вниз — додатна між нулями». У (3) і (4) $a = -1$, тому все навпаки порівняно з (1) і (2).
Пункти (3) і (4) можна звести до стандартного вигляду. Помнож (3) на $-1$: $x^2 - 64 > 0$ (знак змінюється!) — і далі як у (1). Так зручніше, якщо плутаєшся з від'ємним $a$.
Часті помилки. 1) В (3) не змінити знак нерівності при множенні на $-1$. 2) В (2) написати круглі дужки — нерівність нестрога, тому квадратні. 3) Відповідь $|x| \leqslant 10$ замість проміжку — обидва записи правильні, але проміжок $[-10;10]$ зручніший.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.