Вправа 13.25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

1)

Нехай $s = x + y$, $p = xy$.

$\begin{cases} s + p = 5, \\ ps = 6. \end{cases}$

$s$ і $p$ — корені рівняння $t^2 - 5t + 6 = 0$.

$(t-2)(t-3) = 0$; $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Випадок $s = 3$, $p = 2$: $\begin{cases} x+y=3, \\ xy=2. \end{cases}$ Корені: $t^2-3t+2=0$, $(t-1)(t-2)=0$ → $(1;\,2)$ і $(2;\,1)$.

Випадок $s = 2$, $p = 3$: $\begin{cases} x+y=2, \\ xy=3. \end{cases}$ $D=4-12<0$ — немає.

2)

$\begin{cases} \dfrac{x^2 + y^2}{xy} = \dfrac{13}{6}, \\ x = y + 1. \end{cases}$

$\begin{cases} \dfrac{(y+1)^2 + y^2}{(y+1)y} = \dfrac{13}{6}, \\ x = y + 1. \end{cases}$

$\begin{cases} 6(2y^2 + 2y + 1) = 13y(y+1), \\ x = y + 1. \end{cases}$

$\begin{cases} y^2 + y - 6 = 0, \\ x = y + 1. \end{cases}$

$\begin{cases} (y+3)(y-2) = 0, \\ x = y + 1. \end{cases}$

$y_1 = -3$, $x_1 = -2$;   $y_2 = 2$, $x_2 = 3$.

3)

Нехай $u = x+y$, $v = x-y$.

$\begin{cases} u^2 - 2u + 1 = 0, \\ v^2 + 3v - 4 = 0. \end{cases}$

$\begin{cases} (u-1)^2 = 0, \\ (v+4)(v-1) = 0. \end{cases}$

$\begin{cases} u = 1, \\ v = -4 \text{ або } v = 1. \end{cases}$

$v = -4$: $\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=-4. \end{cases}$ $x = -\dfrac{3}{2}$, $y = \dfrac{5}{2}$.

$v = 1$: $\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=1. \end{cases}$ $x = 1$, $y = 0$.

4)

Нехай $t = \dfrac{x-2y}{x+y}$.

$\begin{cases} t - \dfrac{1}{t} = \dfrac{15}{4}, \\ 4x + 5y = 3. \end{cases}$

$\begin{cases} 4t^2 - 15t - 4 = 0, \\ 4x + 5y = 3. \end{cases}$

$\begin{cases} (4t+1)(t-4) = 0, \\ 4x + 5y = 3. \end{cases}$

$t = 4$: $x-2y = 4(x+y)$ → $-3x = 6y$ → $x = -2y$.

$\begin{cases} x = -2y, \\ 4(-2y)+5y=3. \end{cases}$ $-3y=3$, $y=-1$, $x=2$.

$t = -\dfrac{1}{4}$: $x-2y = -\dfrac{1}{4}(x+y)$ → $5x = 7y$ → $x = \dfrac{7y}{5}$.

$4\cdot\dfrac{7y}{5}+5y=3$; $\dfrac{53y}{5}=3$; $y=\dfrac{15}{53}$, $x=\dfrac{21}{53}$.