Вправа 13.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 13.27. За якого значення $a$ система $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a \end{cases}$ має: 1) єдиний розв'язок; 2) рівно три розв'язки?
Виразимо $x^2 = y - a$ і підставимо у перше рівняння системи:
$(y - a) + y^2 = 4 \implies y^2 + y - (a + 4) = 0$. $(\star)$
Кожному кореню $y$ рівняння $(\star)$ відповідає:
— два значення $x$, якщо $y > a$ ($x = \pm\sqrt{y - a}$);
— одне значення $x$, якщо $y = a$ ($x = 0$).
1) Єдиний розв'язок
Рівняння $(\star)$ має корінь $y = a$, якщо виконується умова:
$a^2 + a - (a + 4) = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm2$.
Перевіримо отримані значення:
• При $a = 2$ рівняння $(\star)$ має вигляд $y^2 + y - 6 = 0$, звідки $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.
Якщо $y = 2$, то $x^2 = 2 - 2 = 0 \implies x = 0$ (розв'язок $(0;\,2)$).
Якщо $y = -3$, то $x^2 = -3 - 2 = -5 < 0$ (немає розв'язків).
Система має єдиний розв'язок.
• При $a = -4,25$ дискримінант рівняння $(\star)$ дорівнює нулю: $D = 4a + 17 = 0$. Тоді $y = -0,5$, а $x^2 = -0,5 - (-4,25) = 3,75 > 0$ (дає 2 розв'язки).
2) Рівно три розв'язки
Система має три розв'язки, якщо рівняння $(\star)$ має два різних корені, один з яких $y_1 = a$ (1 розв'язок), а другий $y_2 > a$ (2 розв'язки).
Це виконується при $a = -2$. Перевіримо:
При $a = -2$ рівняння $(\star)$ має вигляд $y^2 + y - 2 = 0$, звідки $y_1 = 1$, $y_2 = -2$.
• Якщо $y = -2 = a$, то $x = 0$ (розв'язок $(0;\,-2)$).
• Якщо $y = 1 > -2$, то $x^2 = 1 - (-2) = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$ (розв'язки $(\sqrt{3};\,1)$ та $(-\sqrt{3};\,1)$).
Усього система має 3 розв'язки.
Кількість розв'язків системи
Підстановка $x^2 = y - a$ зводить систему до квадратного рівняння відносно $y$. Кількість розв'язків для змінної $x$ залежить від знака виразу $y - a$.
Геометрична інтерпретація:
• При $a = 2$ парабола $y = x^2 + 2$ має вершину в точці $(0;\,2)$ і дотикається до кола $x^2 + y^2 = 4$ ззовні в одній точці.
• При $a = -2$ парабола $y = x^2 - 2$ має вершину в точці $(0;\,-2)$ (нижня точка кола) та додатково перетинає його у двох точках: $(\pm\sqrt{3};\,1)$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.