Вправа 13.33 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 13.33. (Київська математична олімпіада, 1989 р.) Нехай $a$, $b$, $c$ — додатні числа. Доведіть, що
$\dfrac{a+b}{a^2+b^2} + \dfrac{b+c}{b^2+c^2} + \dfrac{a+c}{a^2+c^2} \leqslant \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.
Доведемо допоміжну нерівність для довільних $p, q > 0$:
$(p - q)^2 \geqslant 0$.
$p^2 - 2pq + q^2 \geqslant 0$.
$p^2 + q^2 \geqslant 2pq$.
Оскільки $p + q > 0$, ділимо обидві частини на $(p^2 + q^2)(p + q) > 0$:
$\dfrac{1}{p+q} \geqslant \dfrac{2pq}{(p^2+q^2)(p+q)}$.
Звідси:
$\dfrac{p+q}{p^2+q^2} \leqslant \dfrac{p+q}{2pq} = \dfrac{1}{2q} + \dfrac{1}{2p}$.
Застосуємо цю нерівність до кожного з трьох доданків лівої частини:
$\dfrac{a+b}{a^2+b^2} \leqslant \dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b}$,
$\dfrac{b+c}{b^2+c^2} \leqslant \dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2c}$,
$\dfrac{a+c}{a^2+c^2} \leqslant \dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2c}$.
Додаємо всі три нерівності:
$\dfrac{a+b}{a^2+b^2} + \dfrac{b+c}{b^2+c^2} + \dfrac{a+c}{a^2+c^2} \leqslant$
$\leqslant \left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}\right) + \left(\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\right) + \left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2c}\right) =$
$= \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.
Нерівність доведено. Рівність досягається при $a = b = c$.
Нерівність квадратів
Для будь-яких дійсних $p$, $q$: $(p-q)^2 \geqslant 0$, звідси $p^2 + q^2 \geqslant 2pq$.
Рівність — тільки при $p = q$.
Порівняння дробів з однаковим чисельником
Якщо $A > 0$ і $0 < B \leqslant C$, то $\dfrac{A}{B} \geqslant \dfrac{A}{C}$.
Тут: $2pq \leqslant p^2+q^2$, чисельник $p+q > 0$, тому $\dfrac{p+q}{p^2+q^2} \leqslant \dfrac{p+q}{2pq}$.
Додавання нерівностей
Якщо $A_1 \leqslant B_1$, $A_2 \leqslant B_2$, $A_3 \leqslant B_3$, то $A_1 + A_2 + A_3 \leqslant B_1 + B_2 + B_3$.
Де взявся ключовий крок? Дивимося на один доданок $\dfrac{a+b}{a^2+b^2}$. Хочемо оцінити його через $\dfrac{1}{a}$ і $\dfrac{1}{b}$. Природна ідея — порівняти знаменник $a^2+b^2$ з $2ab$. А $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ — це класика з $(a-b)^2 \geqslant 0$.
Чому ділимо на $(p^2+q^2)(p+q)$, а не просто на $2pq$? Нам треба отримати дріб з чисельником $p+q$ зверху. Якщо у $p^2+q^2 \geqslant 2pq$ поділити обидві частини на $(p^2+q^2) \cdot 2pq$, отримуємо $\dfrac{1}{2pq} \geqslant \dfrac{1}{p^2+q^2}$, а звідси $\dfrac{p+q}{2pq} \geqslant \dfrac{p+q}{p^2+q^2}$ — те, що треба.
Три однакові оцінки — і сума «склалася». $\dfrac{1}{2a}$ зустрічається в першому і третьому доданках, $\dfrac{1}{2b}$ — у першому і другому, $\dfrac{1}{2c}$ — у другому і третьому. Сума: $2 \cdot \dfrac{1}{2a} + 2 \cdot \dfrac{1}{2b} + 2 \cdot \dfrac{1}{2c} = \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$.
Рівність при $a=b=c$. Перевір: якщо $a=b=c=t$, то ліва частина $= 3 \cdot \dfrac{2t}{2t^2} = \dfrac{3}{t}$, права $= \dfrac{3}{t}$. Рівність ✓.
Це олімпіадна задача 1989 року — рівень вище шкільного. Основний прийом: звести складну нерівність до простої $(a-b)^2 \geqslant 0$ і скористатися монотонністю дробу (більший знаменник → менший дріб).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.