Вправа 14.27 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 14.27. Моторний човен проплив $33$ км за течією річки і повернув назад за $3$ год $20$ хв. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки, якщо відомо, що $11$ км за течією і $6$ км проти течії він долає за $50$ хв.
Нехай $v$ км/год — власна швидкість човна, $u$ км/год — швидкість течії.
$\begin{cases} \dfrac{33}{v+u} + \dfrac{33}{v-u} = \dfrac{10}{3}, \\[6pt] \dfrac{11}{v+u} + \dfrac{6}{v-u} = \dfrac{5}{6}. \end{cases}$
Нехай $p = \dfrac{1}{v+u}$, $q = \dfrac{1}{v-u}$:
$\begin{cases} 33p + 33q = \dfrac{10}{3}, \\ 11p + 6q = \dfrac{5}{6}. \end{cases}$
$\begin{cases} p + q = \dfrac{10}{99}, \\ 11p + 6q = \dfrac{5}{6}. \end{cases}$
$p = \dfrac{10}{99} - q$; $11\!\left(\dfrac{10}{99} - q\right) + 6q = \dfrac{5}{6}$;
$\dfrac{110}{99} - 11q + 6q = \dfrac{5}{6}$;
$-5q = \dfrac{5}{6} - \dfrac{110}{99} = \dfrac{165 - 220}{198} = -\dfrac{55}{198}$;
$q = \dfrac{55}{990} = \dfrac{1}{18}$; $p = \dfrac{10}{99} - \dfrac{1}{18} = \dfrac{20}{198} - \dfrac{11}{198} = \dfrac{9}{198} = \dfrac{1}{22}$.
$v + u = 22$; $v - u = 18$.
$v = 20$ км/год; $u = 2$ км/год.
Швидкість човна з течією і проти
За течією: $v + u$; проти течії: $v - u$.
Метод введення нових змінних
Якщо система містить $\dfrac{1}{v+u}$ і $\dfrac{1}{v-u}$, зручно замінити $p = \dfrac{1}{v+u}$, $q = \dfrac{1}{v-u}$ — система стає лінійною.
Чому вводимо $p$ і $q$? Після заміни обидва рівняння стають лінійними — розв'язуємо звичайним методом підстановки. Наприкінці повертаємось: $v+u=1/p$, $v-u=1/q$.
Перевірка. $\dfrac{33}{22} + \dfrac{33}{18} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{11}{6} = \dfrac{20}{6} = \dfrac{10}{3}$ год ✓. $\dfrac{11}{22} + \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ год ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.