Вправа 14.30 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 14.30. Знайдіть розв'язки системи рівнянь:
- $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + y^2 = 34; \end{cases}$
- $\begin{cases} x + y = 9, \\ x^2 - y^2 = 9. \end{cases}$
1)
$\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + y^2 = 34. \end{cases}$
$\begin{cases} y = x - 2, \\ x^2 + (x-2)^2 = 34. \end{cases}$
$\begin{cases} y = x - 2, \\ 2x^2 - 4x - 30 = 0. \end{cases}$
$\begin{cases} y = x - 2, \\ x^2 - 2x - 15 = 0. \end{cases}$
$D = 4 + 60 = 64$; $\quad \sqrt{D} = 8$; $\quad x_1 = 5,\; x_2 = -3$.
При $x_1 = 5$: $y_1 = 3$. При $x_2 = -3$: $y_2 = -5$.
2)
$\begin{cases} x + y = 9, \\ x^2 - y^2 = 9. \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = 9, \\ (x - y)(x + y) = 9. \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = 9, \\ (x - y) \cdot 9 = 9. \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = 1. \end{cases}$
$\begin{cases} x = 5, \\ y = 4. \end{cases}$
Метод підстановки
Із одного рівняння виражаємо одну змінну через іншу і підставляємо в друге рівняння. Отримуємо рівняння з однією змінною.
Різниця квадратів
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Якщо в системі є $x^2 - y^2$ і відома сума $x + y$ — розкладаємо і знаходимо $x - y$, система стає лінійною.
Дискримінант
$D = b^2 - 4ac$, $\quad x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Чому в (1) два розв'язки, а в (2) один? У (1) підстановка дає квадратне рівняння з двома коренями — обидва задовольняють систему. У (2) після розкладання система стає лінійною: два рівняння, два невідомих, один розв'язок.
Ключовий прийом у (2) — розпізнати різницю квадратів. Побачивши $x^2 - y^2 = 9$ і $x + y = 9$: $(x-y)(x+y) = 9$, підставляємо $x+y = 9$ — одразу знаходимо $x - y = 1$. Якщо цього не помітити і виразити $y = 9 - x$, розв'язок стане набагато довшим.
Перевірка (1): $(5;\,3)$: $5 - 3 = 2$ ✓, $25 + 9 = 34$ ✓. $(-3;\,-5)$: $-3+5 = 2$ ✓, $9 + 25 = 34$ ✓.
Перевірка (2): $5 + 4 = 9$ ✓, $25 - 16 = 9$ ✓.
Часті помилки. 1) Розкрити $(x-2)^2 = x^2 - 4$, забувши про $-4x$. 2) Не помітити різницю квадратів у (2) і виражати $y$ через $x$. 3) Знайти тільки один із двох розв'язків у (1).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.