Вправа 14.32 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 14.32. Обчисліть $\bigl(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}}\bigr)^2$.
$\bigl(\sqrt{5+2\sqrt{6}} - \sqrt{5-2\sqrt{6}}\bigr)^2 =$
$= (5+2\sqrt{6}) - 2\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} + (5-2\sqrt{6}) =$
$= 10 - 2\sqrt{25 - 24} =$
$= 10 - 2\sqrt{1} =$
$= 10 - 2 = \mathbf{8}$.
Квадрат різниці
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Тут $a = \sqrt{5+2\sqrt{6}}$, $b = \sqrt{5-2\sqrt{6}}$, тому $a^2 = 5+2\sqrt{6}$, $b^2 = 5-2\sqrt{6}$, $ab = \sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}$.
Різниця квадратів під коренем
$(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$.
Чому не треба спрощувати $\sqrt{5 \pm 2\sqrt{6}}$ окремо? Після розкриття квадрата різниці складні корені стоять у добутку $(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})$ — це різниця квадратів, яка миттєво дає $1$. Пробувати вигнести $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ — правильно, але довше.
Перевірка через вкладені корені. Справді, $5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, тому $\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$. Аналогічно $\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$. Тоді різниця $= (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$, квадрат $= 8$ ✓.
Часті помилки. 1) Розкрити $(a-b)^2$ як $a^2 - b^2$ (забути про $-2ab$). 2) Не помітити різницю квадратів і намагатися обчислити $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$ наближено.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.