Вправа 14.34 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 14.34. Спростіть вираз:
$2026 \cdot (2027^9 + 2027^8 + 2027^7 + \ldots + 2027^2 + 2028) + 1$.
Позначимо $a = 2027$. Тоді $2026 = a - 1$, $2028 = a + 1. $
$(a-1)\cdot(a^9 + a^8 + \ldots + a^2 + a + 1) + 1$ =
$= (a^{10} - 1) + 1 =$
$= a^{10} = 2027^{10}$.
Формула різниці степенів
$a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + a + 1)$.
Звідси: $(a-1)(a^{n-1}+\ldots+a+1) = a^n - 1$.
Як побачити підказку в умові. Числа $2026$, $2027$, $2028$ — три послідовних. Якщо позначити середнє за $a$, то крайні автоматично стають $a-1$ і $a+1$. Саме $2028 = a+1$ «добудовує» суму до повної: $a^9 + \ldots + a^2 + (a+1) = a^9 + \ldots + a + 1$.
Чому сума $a^9 + a^8 + \ldots + a + 1$ має рівно 10 доданків. Степені від $0$ до $9$ — це $10$ штук. Множник $(a-1)$ і ця сума дають $a^{10} - 1$ за формулою різниці степенів.
Фінальний $+1$ — не випадковий. $(a^{10}-1)+1 = a^{10}$. Умова спеціально підібрана так, щоб $-1$ і $+1$ скоротились.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.