Вправа 15.11 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.11. Послідовність задано формулою $y_n = 2n^2 - 18n + 7$. Які із чисел є членами цієї послідовності:
1) 7; 2) $-29$; 3) 50; 4) 79?
Для чисел, що є членами послідовності, укажіть їхні номери.
Для кожного числа $A$ розв'язуємо рівняння $2n^2 - 18n + 7 = A$ і перевіряємо, чи є коренем натуральне число.
1) $A = 7$
$2n^2 - 18n + 7 = 7$;
$2n^2 - 18n = 0$;
$2n(n - 9) = 0$.
$n = 0$ або $n = 9$.
$n = 0 \notin \mathbb{N}$; $n = 9 \in \mathbb{N}$ — підходить.
2) $A = -29$
$2n^2 - 18n + 7 = -29$;
$2n^2 - 18n + 36 = 0$;
$n^2 - 9n + 18 = 0$.
$D = 81 - 72 = 9$; $\sqrt{D} = 3$.
$n_1 = \dfrac{9 + 3}{2} = 6$; $n_2 = \dfrac{9 - 3}{2} = 3$.
Обидва натуральні — $n = 3$ і $n = 6$.
3) $A = 50$
$2n^2 - 18n + 7 = 50$;
$2n^2 - 18n - 43 = 0$.
$D = 324 + 344 = 668$. $\sqrt{668}$ — не є цілим числом ($25^2 = 625$, $26^2 = 676$).
Коренів у $\mathbb{N}$ немає.
4) $A = 79$
$2n^2 - 18n + 7 = 79$;
$2n^2 - 18n - 72 = 0$;
$n^2 - 9n - 36 = 0$.
$D = 81 + 144 = 225$; $\sqrt{D} = 15$.
$n_1 = \dfrac{9 + 15}{2} = 12$; $n_2 = \dfrac{9 - 15}{2} = -3$.
$n_2 = -3 \notin \mathbb{N}$; $n_1 = 12 \in \mathbb{N}$ — підходить.
Алгоритм перевірки
1) Скласти рівняння $f(n) = A$.
2) Розв'язати рівняння.
3) Якщо серед коренів є натуральне число — $A$ є членом послідовності з цим номером.
4) Якщо натуральних коренів немає — $A$ не є членом послідовності.
Дискримінант квадратного рівняння
$ax^2 + bx + c = 0$: $D = b^2 - 4ac$, $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Корені цілі лише якщо $D$ — точний квадрат.
Пункт 2): два однакових значення. $y_3 = y_6 = -29$ — обидва члени рівні. Послідовність не зобов'язана бути «ін'єктивною» (кожне значення лише один раз). Формула $2n^2 - 18n + 7$ — парабола по $n$, і парабола може приймати одне значення двічі.
Пункт 3): як швидко зрозуміти, що кореня в $\mathbb{N}$ немає. Обчисли $D = 668$. $25^2 = 625$, $26^2 = 676$ — $D$ між ними, тобто $\sqrt{668}$ — ірраціональне. Значить, корені нецілі, і 50 точно не член послідовності.
Нуль — не натуральне. У п.1) $n = 0$ — не натуральне, тому відкидаємо. Натуральні: $1, 2, 3, \ldots$ — нуль до них не входить.
Перевірки. $y_9 = 2 \cdot 81 - 162 + 7 = 162 - 162 + 7 = 7$ ✓. $y_3 = 18 - 54 + 7 = -29$ ✓. $y_{12} = 2 \cdot 144 - 216 + 7 = 288 - 216 + 7 = 79$ ✓.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.