Вправа 15.12 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.12. Послідовність задано формулою $x_n = n^2 - 4n + 9$. Які із чисел є членами цієї послідовності:
1) 69; 2) 68; 3) 5; 4) 6?
Для чисел, що є членами послідовності, укажіть їхні номери.
Для кожного числа $A$ розв'язуємо рівняння $n^2 - 4n + 9 = A$ і перевіряємо, чи є серед коренів натуральне число.
1) $A = 69$
$n^2 - 4n + 9 = 69$;
$n^2 - 4n - 60 = 0$.
$D = 16 + 240 = 256$; $\sqrt{D} = 16$.
$n_1 = \dfrac{4 + 16}{2} = 10$; $n_2 = \dfrac{4 - 16}{2} = -6$.
$n_2 = -6 \notin \mathbb{N}$; $n_1 = 10 \in \mathbb{N}$ — підходить.
2) $A = 68$
$n^2 - 4n + 9 = 68$;
$n^2 - 4n - 59 = 0$.
$D = 16 + 236 = 252$. $\sqrt{252}$ — не є цілим ($15^2 = 225$, $16^2 = 256$).
Натуральних коренів немає.
3) $A = 5$
$n^2 - 4n + 9 = 5$;
$n^2 - 4n + 4 = 0$;
$(n - 2)^2 = 0$.
$n = 2 \in \mathbb{N}$ — підходить.
4) $A = 6$
$n^2 - 4n + 9 = 6$;
$n^2 - 4n + 3 = 0$;
$(n - 1)(n - 3) = 0$.
$n_1 = 1 \in \mathbb{N}$; $n_2 = 3 \in \mathbb{N}$ — обидва підходять.
Алгоритм перевірки
1) Скласти рівняння $f(n) = A$.
2) Розв'язати квадратне рівняння, знайти $D$ і корені.
3) Серед коренів відібрати натуральні — вони і є номерами цього члена.
4) Якщо натуральних коренів немає — $A$ не є членом послідовності.
Дискримінант
$D = b^2 - 4ac$; $n_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Корені цілі лише якщо $D$ — точний квадрат натурального числа.
Пункт 3): рівняння $(n-2)^2 = 0$. Дискримінант дорівнює нулю — єдиний корінь $n=2$. Це означає, що парабола $f(n)=5$ дотикається осі значень лише в одній точці. Значення 5 зустрічається в послідовності рівно один раз.
Пункт 4): два натуральних корені. $x_1 = 6$ і $x_3 = 6$ — послідовність приймає значення 6 двічі. Це типово для квадратичної формули: парабола симетрична відносно вершини $n = 2$, і значення 6 «по обидва боки» від вершини.
Перевірки. $x_{10} = 100 - 40 + 9 = 69$ ✓. $x_2 = 4 - 8 + 9 = 5$ ✓. $x_1 = 1 - 4 + 9 = 6$ ✓. $x_3 = 9 - 12 + 9 = 6$ ✓.
Пункт 2): чому 68 не є членом. $\sqrt{252} \approx 15{,}87$ — ірраціональне. Корені нецілі, $n \notin \mathbb{N}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.