Вправа 15.13 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.13. Знайдіть п'ять перших членів послідовності $(c_n)$, яку задано рекурентно:
- $c_1 = 8$, $c_{n+1} = c_n - 5$;
- $c_1 = -3$, $c_{n+1} = 2c_n + 3$;
- $c_1 = -2$, $c_2 = 3$, $c_{n+2} = c_{n+1} + c_n$;
- $c_1 = 0$, $c_2 = -5$, $c_{n+2} = \dfrac{c_{n+1}}{c_n + 1}$.
1) $c_1 = 8$, $c_{n+1} = c_n - 5$
$c_1 = 8$.
$c_2 = 8 - 5 = 3$.
$c_3 = 3 - 5 = -2$.
$c_4 = -2 - 5 = -7$.
$c_5 = -7 - 5 = -12$.
2) $c_1 = -3$, $c_{n+1} = 2c_n + 3$
$c_1 = -3$.
$c_2 = 2 \cdot (-3) + 3 = -3$.
$c_3 = 2 \cdot (-3) + 3 = -3$.
$c_4 = -3$.
$c_5 = -3$.
3) $c_1 = -2$, $c_2 = 3$, $c_{n+2} = c_{n+1} + c_n$
$c_1 = -2$; $c_2 = 3$.
$c_3 = c_2 + c_1 = 3 + (-2) = 1$.
$c_4 = c_3 + c_2 = 1 + 3 = 4$.
$c_5 = c_4 + c_3 = 4 + 1 = 5$.
4) $c_1 = 0$, $c_2 = -5$, $c_{n+2} = \dfrac{c_{n+1}}{c_n + 1}$
$c_1 = 0$; $c_2 = -5$.
$c_3 = \dfrac{c_2}{c_1 + 1} = \dfrac{-5}{0 + 1} = -5$.
$c_4 = \dfrac{c_3}{c_2 + 1} = \dfrac{-5}{-5 + 1} = \dfrac{-5}{-4} = \dfrac{5}{4}$.
$c_5 = \dfrac{c_4}{c_3 + 1} = \dfrac{\tfrac{5}{4}}{-5 + 1} = \dfrac{\tfrac{5}{4}}{-4} = -\dfrac{5}{16}$.
Рекурентне задання послідовності
Послідовність задана рекурентно, якщо вказано один або кілька перших членів і формулу, що виражає кожен наступний через попередні.
Щоб знайти $c_{n+1}$, потрібно знати $c_n$ (або $c_n$ і $c_{n-1}$ тощо).
Стаціонарна точка
Якщо $c_{n+1} = f(c_n)$ і $f(c_1) = c_1$, то всі члени рівні $c_1$.
У п.2): $2(-3)+3 = -3$ — нерухома точка, послідовність стала.
Пункт 2): всі члени рівні $-3$. $c_2 = 2(-3)+3 = -3$ — отримали те саме число. «Зациклились» в нерухомій точці. Перевір: скільки б разів не застосовував формулу, результат завжди $-3$.
Пункт 3): схоже на числа Фібоначчі. Класична послідовність Фібоначчі: $1;\,1;\,2;\,3;\,5;\,8;\ldots$ — теж сума двох попередніх. Тут інші початкові значення, але принцип той самий.
Пункт 4): стеж за знаменником. У $c_4$ знаменник $c_2 + 1 = -4 \neq 0$ — можна ділити. У $c_5$ знаменник $c_3 + 1 = -4 \neq 0$ — теж. Завжди перевіряй ненульовість знаменника.
Пункт 1) — майбутня арифметична прогресія. Кожен член менший за попередній на 5. Це означення арифметичної прогресії з різницею $d = -5$ — тема §16.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.