Вправа 15.14 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.14. Знайдіть п'ять перших членів послідовності $(y_n)$, яку задано рекурентно:
- $y_1 = 5$, $y_{n+1} = 2y_n - 7$;
- $y_1 = 16$, $y_2 = 1$, $y_{n+2} = \dfrac{y_n}{2y_{n+1}}$.
1) $y_1 = 5$, $y_{n+1} = 2y_n - 7$
$y_1 = 5$.
$y_2 = 2 \cdot 5 - 7 = 3$.
$y_3 = 2 \cdot 3 - 7 = -1$.
$y_4 = 2 \cdot (-1) - 7 = -9$.
$y_5 = 2 \cdot (-9) - 7 = -25$.
2) $y_1 = 16$, $y_2 = 1$, $y_{n+2} = \dfrac{y_n}{2y_{n+1}}$
$y_1 = 16$; $y_2 = 1$.
$y_3 = \dfrac{y_1}{2y_2} = \dfrac{16}{2 \cdot 1} = 8$.
$y_4 = \dfrac{y_2}{2y_3} = \dfrac{1}{2 \cdot 8} = \dfrac{1}{16}$.
$y_5 = \dfrac{y_3}{2y_4} = \dfrac{8}{2 \cdot \tfrac{1}{16}} = \dfrac{8}{\tfrac{1}{8}} = 64$.
Ділення дробу на дріб
$\dfrac{a}{\tfrac{b}{c}} = a \cdot \dfrac{c}{b}$. Приклад: $\dfrac{8}{\tfrac{1}{8}} = 8 \cdot 8 = 64$.
Рекурентна формула з двома попередніми
$y_{n+2} = f(y_n,\, y_{n+1})$ — кожен новий член залежить від двох попередніх. Для старту потрібно задати $y_1$ і $y_2$.
Пункт 1): послідовність швидко спадає. $5;\,3;\,-1;\,-9;\,-25;\ldots$ Різниця між членами збільшується: $-2;\,-4;\,-8;\,-16;\ldots$ — подвоюється. Це не арифметична прогресія, хоч і виглядає схоже.
Пункт 2): $y_5 = 64$, хоча $y_1 = 16$. Послідовність немонотонна — члени то ростуть, то зменшуються. $16;\,1;\,8;\,\frac{1}{16};\,64$ — «стрибки» пов'язані з тим, що формула ділить на попередній член, який може бути дуже малим.
Як обчислити $y_5$. $2y_4 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$. Ділимо $y_3 = 8$ на $\frac{1}{8}$: $8 \div \frac{1}{8} = 8 \cdot 8 = 64$.
Часті помилки. В п.2) не «перевернути» дріб при діленні: $\frac{8}{1/8} = 8 \cdot 8 = 64$, а не $\frac{8}{8} = 1$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.