Вправа 15.15 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.15. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою $n$-го члена:
- $a_n = 26 - n^2$;
- $b_n = -2n^2 + 16n$;
- $c_n = (-1)^n$;
- $y_n = -n^2 + 5n$.
1) $a_n = 26 - n^2$
$a_n$ спадає при зростанні $n$ (оскільки $n^2$ зростає). Найбільший при $n = 1$:
$a_1 = 26 - 1 = 25$.
2) $b_n = -2n^2 + 16n$
Парабола гілками вниз. Вершина при $n_0 = \dfrac{16}{2 \cdot 2} = 4$. Перевіряємо $n = 4$:
$b_3 = -18 + 48 = 30$; $b_4 = -32 + 64 = 32$; $b_5 = -50 + 80 = 30$.
$b_4 = 32$ — найбільший.
3) $c_n = (-1)^n$
$c_1 = -1$; $c_2 = 1$; $c_3 = -1$; $c_4 = 1$; $\ldots$
Члени чергуються: $-1$ і $1$. Найбільше значення $1$, досягається при парних $n$.
4) $y_n = -n^2 + 5n$
Парабола гілками вниз. Вершина при $n_0 = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Перевіряємо $n = 2$ і $n = 3$:
$y_2 = -4 + 10 = 6$; $y_3 = -9 + 15 = 6$.
$y_2 = y_3 = 6$ — найбільший.
Максимум квадратичної послідовності
Для $f(n) = an^2 + bn + c$, де $a < 0$, вершина парабол: $n_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Оскільки $n \in \mathbb{N}$, перевіряємо $\lfloor n_0 \rfloor$ і $\lceil n_0 \rceil$ (цілі числа навколо $n_0$).
Монотонна послідовність
Якщо $a_n$ спадає для всіх $n \geqslant 1$ — найбільший член $a_1$.
Якщо зростає — найбільшого члена немає (послідовність нескінченна).
Пункт 2): формула вершини для натуральних $n$. $n_0 = 4$ — ціле, тому максимум точно в $n = 4$. Якби $n_0 = 4{,}3$, перевіряли б $n=4$ і $n=5$.
Пункт 4): вершина між двома натуральними. $n_0 = 2{,}5$ — не ціле. Тому перевіряємо $n=2$ і $n=3$. Обидва дають однакове значення $6$ — максимум досягається двічі. Це закономірно: парабола симетрична відносно $2{,}5$, а $2$ і $3$ рівновіддалені від неї.
Пункт 3): $(-1)^n$ — не монотонна послідовність. Вона взагалі не має «найбільшого з певного місця» — просто коливається між $-1$ і $1$. Максимальне значення $1$ — і воно досягається нескінченно часто.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.