Вправа 15.16 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.16. Знайдіть найменший член послідовності, заданої формулою $n$-го члена:
- $x_n = 2n^2 - 3$;
- $a_n = n^2 - 8n - 5$.
1) $x_n = 2n^2 - 3$
$a = 2 > 0$ — парабола гілками вгору, зростає при $n \geqslant 1$. Найменший при $n = 1$:
$x_1 = 2 \cdot 1 - 3 = -1$; $x_2 = 8 - 3 = 5$; $x_3 = 18 - 3 = 15$.
$x_1 = -1$ — найменший.
2) $a_n = n^2 - 8n - 5$
$a = 1 > 0$ — парабола гілками вгору. Вершина при $n_0 = \dfrac{8}{2} = 4$.
Перевіряємо сусідні натуральні значення:
$a_3 = 9 - 24 - 5 = -20$.
$a_4 = 16 - 32 - 5 = -21$.
$a_5 = 25 - 40 - 5 = -20$.
$a_4 = -21$ — найменший.
Мінімум квадратичної послідовності
Для $f(n) = an^2 + bn + c$, де $a > 0$, вершина парабол: $n_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Якщо $n_0 \in \mathbb{N}$ — мінімум у $n_0$.
Якщо $n_0 \notin \mathbb{N}$ — перевіряємо $\lfloor n_0 \rfloor$ і $\lceil n_0 \rceil$, беремо менше значення.
Монотонне зростання від $n=1$
Якщо $f(n)$ зростає для всіх $n \geqslant 1$ — найменший член $f(1)$.
Для $x_n = 2n^2 - 3$: вершина в $n_0 = 0 \notin \mathbb{N}$, тому на $\mathbb{N}$ функція зростає від $n=1$.
Пункт 1): вершина поза $\mathbb{N}$. $x_n = 2n^2 - 3$, вершина $n_0 = 0$. Оскільки $n \geqslant 1 > n_0$, ми знаходимося на правому «схилі» параболи, де функція тільки зростає. Найменший — перший член.
Пункт 2): вершина точно в $n=4$. $n_0 = 4 \in \mathbb{N}$, тому мінімум саме там. Перевіряємо $n=3$ і $n=5$ для підтвердження: обидва дають $-20 > -21$ ✓.
Порівняй з 15.15. Там шукали найбільший (гілки вниз), тут — найменший (гілки вгору). Метод той самий: знайти $n_0$, перевірити сусідні натуральні числа.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.