Вправа 15.17 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.17. Доведіть, що послідовність $(p_n)$, у якої $p_n = 2n^2 + 6n - 5$, не містить найбільшого члена, а послідовність $(t_n)$, у якої $t_n = -n^2 - 4n$, не містить найменшого члена.
Послідовність $(p_n)$: немає найбільшого члена
Доведемо, що $p_{n+1} > p_n$ для будь-якого $n \in \mathbb{N}$.
$p_{n+1} - p_n = \bigl[2(n+1)^2 + 6(n+1) - 5\bigr] - \bigl[2n^2 + 6n - 5\bigr]$
$= 2n^2 + 4n + 2 + 6n + 6 - 5 - 2n^2 - 6n + 5$
$= 4n + 8 = 4(n + 2)$.
При $n \in \mathbb{N}$: $n + 2 \geqslant 3 > 0$, тому $p_{n+1} - p_n > 0$, тобто $p_{n+1} > p_n$.
Послідовність строго зростає, отже найбільшого члена не має. $\blacksquare$
Послідовність $(t_n)$: немає найменшого члена
Доведемо, що $t_{n+1} < t_n$ для будь-якого $n \in \mathbb{N}$.
$t_{n+1} - t_n = \bigl[-(n+1)^2 - 4(n+1)\bigr] - \bigl[-n^2 - 4n\bigr]$
$= -n^2 - 2n - 1 - 4n - 4 + n^2 + 4n$
$= -2n - 5$.
При $n \in \mathbb{N}$: $-2n - 5 \leqslant -7 < 0$, тому $t_{n+1} < t_n$.
Послідовність строго спадає, отже найменшого члена не має. $\blacksquare$
Метод доведення через різницю
Якщо $a_{n+1} - a_n > 0$ для всіх $n \in \mathbb{N}$ — послідовність строго зростає і не має найбільшого члена.
Якщо $a_{n+1} - a_n < 0$ для всіх $n \in \mathbb{N}$ — послідовність строго спадає і не має найменшого члена.
Розкриття квадрата різниці
$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.
При обчисленні $f(n+1) - f(n)$ квадрати $n^2$ скорочуються — залишається лінійний вираз.
Чому достатньо показати $p_{n+1} > p_n$? Якби існував найбільший член $p_k$, то мало б виконуватись $p_{k+1} \leqslant p_k$ — суперечність з доведеним. Значить, жоден член не є найбільшим.
Хитрість у обчисленні. Одразу розкриваємо $f(n+1)$ і віднімаємо $f(n)$. Доданки $2n^2$ і $-2n^2$ скорочуються. Залишається лінійний вираз, знак якого легко визначити.
Для $(p_n)$: $p_{n+1} - p_n = 4(n+2) > 0$ — зростає з кроком, що теж зростає. Послідовність «прискорюється».
Для $(t_n)$: $t_{n+1} - t_n = -2n-5 < 0$ — спадає, і різниця по модулю теж зростає. Послідовність іде в $-\infty$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.