Вправа 15.19 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.19. Обчисліть $\dfrac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 3} + \dfrac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 3}$.
Зведемо до спільного знаменника
$(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3) = 5 - 9 = -4$.
$\dfrac{(\sqrt{5}+3)^2 + (\sqrt{5}-3)^2}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)}$.
Чисельник: $(\sqrt{5}+3)^2 + (\sqrt{5}-3)^2 = $
$ = (5 + 6\sqrt{5} + 9) + (5 - 6\sqrt{5} + 9) = 28$.
Знаменник: $5 - 9 = -4$.
$\dfrac{28}{-4} = $ $-7$.
Різниця квадратів і формули скороченого множення
$(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3) = (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4$.
$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2a^2 + 2b^2$.
Тут: $2 \cdot 5 + 2 \cdot 9 = 10 + 18 = 28$.
Ірраціональність скорочується. В чисельнику $+6\sqrt{5}$ і $-6\sqrt{5}$ анулюються — залишається $28$. Це типово для виразів вигляду $(a+b)^2+(a-b)^2$: ірраціональні або буквені складові скорочуються.
Знаменник від'ємний. $(\sqrt{5})^2-3^2=5-9=-4$. Результат: $28/(-4)=-7$.
Альтернатива: формула $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$. При $a=\sqrt{5}+3$, $b=\sqrt{5}-3$: $ab=(\sqrt5)^2-9=-4$; $a^2+b^2=28$. Той самий результат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.