Вправа 15.24 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.24. Розв'яжіть систему рівнянь $\begin{cases} xy + yz = 8, \\ yz + zx = 9, \\ zx + xy = 5. \end{cases}$
Позначимо $a = xy$, $b = yz$, $c = zx$:
$\begin{cases} a + b = 8, \\ b + c = 9, \\ c + a = 5. \end{cases}$
Додамо всі три рівняння:
$2(a + b + c) = 22$.
$a + b + c = 11$.
$c = 11 - 8 = 3$, $a = 11 - 9 = 2$, $b = 11 - 5 = 6$.
$xy = 2$, $yz = 6$, $zx = 3$.
$(xyz)^2 = xy \cdot yz \cdot zx = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36$.
$xyz = \pm 6$.
Випадок 1: $xyz = 6$
$z = \dfrac{xyz}{xy} = \dfrac{6}{2} = 3$.
$x = \dfrac{xyz}{yz} = \dfrac{6}{6} = 1$.
$y = \dfrac{xyz}{zx} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Випадок 2: $xyz = -6$
$z = \dfrac{-6}{2} = -3$.
$x = \dfrac{-6}{6} = -1$.
$y = \dfrac{-6}{3} = -2$.
Метод введення нових змінних
Якщо кожне рівняння містить суму двох добутків пар невідомих, позначають самі добутки через нові літери і розв'язують простішу систему.
Система трьох попарних сум
Якщо $a + b = p$, $\; b + c = q$, $\; c + a = r$, то:
$a + b + c = \dfrac{p + q + r}{2}$.
Кожна змінна — різниця повної суми і відомої пари: $c = (a+b+c) - p$, і т.д.
Добуток попарних добутків
$(xyz)^2 = (xy)(yz)(zx)$, тому $xyz = \pm\sqrt{(xy)(yz)(zx)}$.
Обидва знаки дають дійсні розв'язки, якщо вихідна система сумісна.
Чому вводимо $a$, $b$, $c$? У вихідній системі невідомі $x$, $y$, $z$ входять лише як попарні добутки. Ця симетрія — підказка: добутки і є нові змінні, система для них лінійна.
Звідки $(xyz)^2 = xy \cdot yz \cdot zx$? Розпишемо: $xy \cdot yz \cdot zx = x^2 y^2 z^2 = (xyz)^2$. Тому $xyz = \pm 6$, і обидва знаки перевіряються в умові.
Чому обидва розв'язки правильні? У другому розв'язку $x = -1$, $y = -2$, $z = -3$ — всі три від'ємні. Добуток двох від'ємних завжди додатний: $xy = (-1)(-2) = 2$, $yz = (-2)(-3) = 6$, $zx = (-3)(-1) = 3$. Обидві трійки дають однакові добутки, тому задовольняють вихідну систему.
Перевірка для $(1;\,2;\,3)$: $xy+yz = 2+6 = 8$ ✓; $yz+zx = 6+3 = 9$ ✓; $zx+xy = 3+2 = 5$ ✓.
Часті помилки. 1) Забути від'ємний випадок $xyz = -6$ — відповідь неповна. 2) Знайти $a$, $b$, $c$, але не перейти назад до $x$, $y$, $z$. 3) При діленні $z = xyz / xy$ — не помітити, якщо $xy = 0$ (тут таке не трапляється, але варто перевіряти).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.