Вправа 15.6 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 15.6. Знайдіть чотири перших члени послідовності $(x_n)$, яку задано формулою:
- $x_n = 4n^2 - 17$;
- $x_n = \dfrac{n^2}{n+1}$;
- $x_n = \dfrac{2n-17}{n+3}$;
- $x_n = \dfrac{n^3}{2^n}$.
У кожному пункті підставляємо $n = 1, 2, 3, 4$ у формулу $x_n$.
1) $x_n = 4n^2 - 17$
$x_1 = 4 \cdot 1^2 - 17 = 4 - 17 = -13$.
$x_2 = 4 \cdot 2^2 - 17 = 16 - 17 = -1$.
$x_3 = 4 \cdot 3^2 - 17 = 36 - 17 = 19$.
$x_4 = 4 \cdot 4^2 - 17 = 64 - 17 = 47$.
2) $x_n = \dfrac{n^2}{n+1}$
$x_1 = \dfrac{1^2}{1+1} = \dfrac{1}{2}$.
$x_2 = \dfrac{2^2}{2+1} = \dfrac{4}{3}$.
$x_3 = \dfrac{3^2}{3+1} = \dfrac{9}{4}$.
$x_4 = \dfrac{4^2}{4+1} = \dfrac{16}{5}$.
3) $x_n = \dfrac{2n-17}{n+3}$
$x_1 = \dfrac{2 \cdot 1 - 17}{1 + 3} = \dfrac{-15}{4} = -\dfrac{15}{4}$.
$x_2 = \dfrac{2 \cdot 2 - 17}{2 + 3} = \dfrac{-13}{5} = -\dfrac{13}{5}$.
$x_3 = \dfrac{2 \cdot 3 - 17}{3 + 3} = \dfrac{-11}{6}$.
$x_4 = \dfrac{2 \cdot 4 - 17}{4 + 3} = \dfrac{-9}{7} = -\dfrac{9}{7}$.
4) $x_n = \dfrac{n^3}{2^n}$
$x_1 = \dfrac{1^3}{2^1} = \dfrac{1}{2}$.
$x_2 = \dfrac{2^3}{2^2} = \dfrac{8}{4} = 2$.
$x_3 = \dfrac{3^3}{2^3} = \dfrac{27}{8}$.
$x_4 = \dfrac{4^3}{2^4} = \dfrac{64}{16} = 4$.
Знаходження членів за формулою
Щоб знайти $x_k$, підставити $n = k$ у формулу $x_n = f(n)$ і обчислити результат.
Область значень $n$: лише натуральні числа $1, 2, 3, \ldots$
Степінь числа
$n^2$ — квадрат: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$.
$n^3$ — куб: $1^3=1$, $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$.
$2^n$ — степінь двійки: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$.
Пункт 1): члени змінюють знак. $x_1 = -13$, $x_2 = -1$ — від'ємні, $x_3 = 19$ — вже додатний. Це тому, що $4n^2 = 17$ при $n \approx 2{,}06$, і з $n = 3$ формула дає додатні значення. Ніщо «дивного» — послідовність може мати члени різних знаків.
Пункт 3): числівник завжди від'ємний для перших чотирьох. $2n - 17 < 0$ при $n < 8{,}5$, тобто для $n = 1, \ldots, 8$ — від'ємний. Починаючи з $n = 9$: $x_9 = \dfrac{18 - 17}{9 + 3} = \dfrac{1}{12} > 0$.
Пункт 4): куб проти степеня двійки. $n^3$ зростає повільніше за $2^n$ при великих $n$. Тому $x_2 = 2$, $x_3 = 3{,}375$, $x_4 = 4$ — але далі $x_5 = \dfrac{125}{32} \approx 3{,}9$, $x_6 = \dfrac{216}{64} = 3{,}375$. Послідовність зростає, а потім починає спадати.
Часті помилки. 1) В п.1) обчислити $4n^2$ як $(4n)^2$ — ні, спершу $n^2$, потім множимо на 4. 2) В п.4) перенести $2^n$ до чисельника і написати $x_2 = 8 \cdot 4 = 32$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.