Вправа 16.19 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 16.19. Знайдіть формулу $n$-го члена арифметичної прогресії:

$2x,\; 5x,\; 8x,\; \ldots$
$\dfrac{m-1}{m},\; 1,\; \dfrac{m+1}{m},\; \ldots$

Розв'язання

1) $2x,\; 5x,\; 8x,\; \ldots$

$a_1 = 2x$; $d = 5x - 2x = 3x$.

$a_n = 2x + (n-1) \cdot 3x = 2x + 3nx - 3x = 3nx - x = $ $x(3n - 1)$.

Відповідь

$a_n = x(3n-1)$.

2) $\dfrac{m-1}{m},\; 1,\; \dfrac{m+1}{m},\; \ldots$

$a_1 = \dfrac{m-1}{m}$; $d = 1 - \dfrac{m-1}{m} = \dfrac{m}{m} - \dfrac{m-1}{m} = \dfrac{1}{m}$.

$a_n = \dfrac{m-1}{m} + (n-1) \cdot \dfrac{1}{m} = \dfrac{m-1 + n - 1}{m} = $ $\dfrac{m + n - 2}{m}$.

Відповідь

$a_n = \dfrac{m + n - 2}{m}$.

Формула $n$-го члена через $a_1$ і $d$

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$.

Після підстановки спрощуємо алгебраїчний вираз.

Пункт 1): $x$ — спільний множник. $d = 3x$ — різниця теж містить $x$. При $x=1$ отримуємо звичайну АП $2;\,5;\,8;\ldots$ з $d=3$. Формула $x(3n-1)$: при $n=1$ → $2x$ ✓, при $n=2$ → $5x$ ✓, при $n=3$ → $8x$ ✓.

Пункт 2): перевір $a_2$. $a_2 = \frac{m+2-2}{m} = \frac{m}{m} = 1$ ✓ — збігається з умовою. $a_3 = \frac{m+3-2}{m} = \frac{m+1}{m}$ ✓.

Чому $1 - \frac{m-1}{m} = \frac{1}{m}$? $1 = \frac{m}{m}$, тому $\frac{m}{m} - \frac{m-1}{m} = \frac{m-(m-1)}{m} = \frac{1}{m}$. Мінус перед дужкою змінює знак: $m - (m-1) = 1$.