Вправа 16.2 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер
Вправа 16.2. Чи є арифметичною прогресією послідовність:
- натуральних чисел: 1; 2; 3; 4; 5; …;
- квадратів натуральних чисел: 1; 4; 9; 16; 25; …;
- непарних натуральних чисел: 1; 3; 5; 7; 9; …;
- правильних дробів із чисельником 1: $\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{1}{3}$; $\dfrac{1}{4}$; $\dfrac{1}{5}$; $\dfrac{1}{6}$; …?
1) 1; 2; 3; 4; 5; …
$2-1=1$; $3-2=1$; $4-3=1$. Різниця стала: $d=1$.
Так, АП. $a_1 = 1$, $d = 1$.
2) 1; 4; 9; 16; 25; …
$4-1=3$; $9-4=5$; $16-9=7$; $25-16=9$. Різниця непостійна.
Ні, не АП.
3) 1; 3; 5; 7; 9; …
$3-1=2$; $5-3=2$; $7-5=2$; $9-7=2$. Різниця стала: $d=2$.
Так, АП. $a_1 = 1$, $d = 2$.
4) $\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{1}{3}$; $\dfrac{1}{4}$; $\dfrac{1}{5}$; $\dfrac{1}{6}$; …
$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{6}$; $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{12}$. Різниця непостійна ($-\dfrac{1}{6} \neq -\dfrac{1}{12}$).
Ні, не АП.
Різниця арифметичної прогресії
$d = a_{n+1} - a_n$ — для перевірки достатньо переконатися, що ця різниця однакова для кількох сусідніх пар.
Якщо хоча б для однієї пари різниця інша — послідовність не є АП.
Віднімання дробів
$\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \dfrac{-1}{n(n+1)}$.
При $n=2$: $-\dfrac{1}{6}$; при $n=3$: $-\dfrac{1}{12}$ — різні.
Пункт 2): квадрати — не АП. Різниці $3;\,5;\,7;\,9;\ldots$ самі утворюють АП (непарні числа)! Це не збіг: $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$ — лінійна функція від $n$, тобто різниці зростають.
Пункт 4): дроби $\frac{1}{n}$ — не АП. Різниця $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n} = \frac{-1}{n(n+1)}$ змінюється з кожним $n$. Хоча дроби і зменшуються монотонно, темп зменшення непостійний.
АП серед 4 послідовностей: пп. 1) і 3). Натуральні числа ($d=1$) і непарні натуральні ($d=2$) — класичні приклади арифметичних прогресій.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.