Вправа 16.25 — ГДЗ Алгебра 9 клас Істер

Умова

Вправа 16.25. В арифметичній прогресії $(x_n)$ $x_1 = 12$, $d = -2{,}5$. Чи є членом цієї прогресії число:

$-7$;
$-23$?

Розв'язання

$x_n = 12 + (n-1) \cdot (-2{,}5) = 14{,}5 - 2{,}5n$.

1) Число $-7$

$14{,}5 - 2{,}5n = -7$; $2{,}5n = 21{,}5$; $n = 8{,}6 \notin \mathbb{N}$.

Ні, $-7$ не є членом прогресії.

Відповідь

Ні, не є членом прогресії.

2) Число $-23$

$14{,}5 - 2{,}5n = -23$; $2{,}5n = 37{,}5$; $n = 15 \in \mathbb{N}$.

Так, $-23$ є членом: $x_{15} = -23$.

Відповідь

Так, $x_{15} = -23$.

Перевірка належності числа до АП

$n = \dfrac{a_1 - A}{|d|} + 1$ (при спадній АП, де $d < 0$).

Або просто: скласти рівняння $x_n = A$, знайти $n$, перевірити $n \in \mathbb{N}$.

Швидкий спосіб для 16.25. $(A - a_1)$ має ділитися на $d$: $(-7 - 12)/(-2{,}5) = -19/(-2{,}5) = 7{,}6$ — не ціле ✗. $(-23-12)/(-2{,}5) = -35/(-2{,}5) = 14$ — ціле ✓, тому $n = 14+1 = 15$.

Перевірка п.2). $x_{15} = 12 + 14 \cdot (-2{,}5) = 12 - 35 = -23$ ✓.

Дробовий $d$ — дробові члени. $d = -2{,}5$: члени $12;\,9{,}5;\,7;\,4{,}5;\,2;\,-0{,}5;\,-3;\ldots$ Тільки кожен другий член — ціле число (при непарному $n$). $-7$ — ціле, але не потрапляє: між $-6{,}5$ ($n=8$) і $-9$ ($n=9$) в послідовності нема $-7$.